12．(1)如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等. 现突然给左端小球一个向右的速度,求弹簧第一次恢复到自然长度时,每个小球的速度.

　　　 (2)如图2，将N个这样的振子放在该轨道上，最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E_0，其余各振子间都有一定的距离，现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值. 已知本题中两球发生碰撞时,速度交换,即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度.

2003年江苏物理卷第20题

　　　 解：(1)设每个小球质量为，以、分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度. 由动量守恒和能量守恒定律有　 (以向右为速度正方向)　 　解得

　　　 由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：

　　　 (2)以、分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，　

　 解得

在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解： 振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为，根据动量守恒定律：

用E₁表示最大弹性势能，由能量守恒有

解得

　　　 13．类弹簧问题(14分)如图，两个带同种电荷的小球A和B，A、B的质量分别为m和2m。开始时将它们固定在绝缘的光滑水平面上保持静止，A、B相距为d.A、B间的相互作用为遵守牛顿第三定律。现同时释放A、B，经过一段时间，A、B相距2d，此时B的速度大小为v。求：

　　　 (1)此时A的速度大小。

　　　 (2)此过程中B对A做的功。

　　　 (3)此过程中A球移动的距离。

　 　 解：(1)以A、B为研究对象，由动量守恒定律　 m_Av_A=m_Bv　 (4分) 　求出v_A=2v　 (1分)

　 (2)对A，由动能定理　 (3分)

　 (3)　 (2分)　 s_A+s_B=d　 (2分) 求出s_A=2d/3　 (2分)

7.5+3.6-14.4=0.75a′

　得

　箱子以大小为的加速度加速上升或减速下降

9.(16分)如图13所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上.然后使A、B以速度v₀沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为m_A、m_B，且m_A<m_B.求：　

(1)被压缩的弹簧具有的弹性势能E_p.　

(2)试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻？

解：(1)设弹簧第一次恢复自然长度时B的速度为 v_B

　　　 以A、B弹簧为系统动量守恒(m_A+m_B)v₀=m_B v_B①(3分)

　　　 机械能守恒：(m_A+m_B)v₀²+E_p=m_B v_B²②(3分)

　　　 由①、②解出E_p=③(2分)

　　　 (2)设以后运动过程中B的速度为0时，A的速度为v_A，此时弹簧的弹性势能为E_p′，用动量守恒(m_A+m_B)v₀=m_A v_A ④(3分)

　　　 机械能守恒(m_A+m_B)v²+E_p=m_Av_A²+ E_p′⑤(3分)

　　　 由④、⑤解出⑥　

　　　 因为m_A＜m_B 所以E_p′＜0

　　　 弹性势能小于0是不可能的，所以B的速度没有等于0的时刻

　　　 10．(14分)如图所示，一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上，弹簧的上端与盒子A连接在一起，下端固定在地面上。盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧的劲度系数为k=400N/m，A和B的质量均为2kg。将A向上提高，使弹簧从自由长度伸长10cm后，从静止释放，不计阻力，A和B一起做竖直方向的简揩振动，g取。已知弹簧处在弹性限度内，对于同一弹簧，其弹性势能只决定于其形变的大小。试求：

　(1)盒子A的振幅；

　(2)盒子A运动到最高点时，A对B的作用力方向；(不要求写出理由)

　(3)小球B的最大速度。

　　　 解：(1)系统处于平衡位置时，弹簧压缩，则

　盒子的振幅为

　(2)方向向下

　(3)B运动到平衡位置时速度最大，从最高点到平衡位置的过程中，弹力做的正功与负功相等，总功为零

　由动能定理：

　　　 11．(14分)两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间，箱子只能沿竖直方向运动，如图所示。两弹簧原长均为0.80m，劲度系数均为60N/m。当箱以的加速度匀减速上升时，上弹簧的长度为0．70m，下弹簧的长度为0.60m。()若上顶板压力是下底板压力的四分之一，试判断箱的运动情况。

　　　 解：根据胡克定律F=Kx，设下弹簧压力为、上弹簧压力为

　以向下为正方向，当金属块以的加速度匀减速上升时，金属块受力如图：

　由牛顿第二定律：

　10m+6-12=2m　　 ∴m=0.75Kg

　弹簧总长度不变：，上顶板压力为下底板压力的时，设上弹簧的压缩量为、下弹簧压缩量为，则，

　，算出

7．(13分)用一根轻质弹簧悬吊一物体A，弹簧伸长了L，现该弹簧一端固定在墙上，另一端系一三棱体，先将弹簧压缩然后将物体A从三棱体的斜面上由静止释放，则当A下滑过程中三棱体保持静止。若水平地面光滑，三棱体斜面与水平地面成30°角，如图所示。求：

(1)物块A的下滑加速度a；　 (2)物块A与斜面之间的动摩擦因数。

解：(1)当弹簧竖直悬挂物体时：KL=mg　　　　 ①

　　　 在A从三棱体上下滑时，对A和三棱体组成的系统，在水平方向上，应用牛顿规律：　 ②

　　　 由①、②可得

(2)对物块A： ③

　　　 8．(13分)如图所示，质量分别为m和M的A、B两重物用劲度系数为k的轻质弹簧竖直地连接起来，使弹簧为原长时，两物从静止开始自由下落，下落过程中弹簧始终保持竖直状态。当重物A下降距离h时，重物B刚好与地面相碰，假定碰后的瞬间重物B不离开地面(B与地面作完全非弹性碰撞)但不粘连。为使重物A反弹时能将重物B提离地面，试问下落高度h至少应为多少？(提示：弹簧形变量为x时的弹性势能为E_P=)

解：B触地时，弹簧为原长，A的速度为：

　　 　 A压缩弹簧，后被向上弹起弹簧又恢复原长时，因机械守恒，可知A的速度仍为：

　　　 A继续向上运动拉伸弹簧，设法V_A=0时弹簧伸长量为x，则要使此时B能被提前离地面，应有：kx=Mg

　　　 而在此弹簧被拉伸的过程对A和弹簧有：

　　　 由上几式可解得：

6．(14分)如图所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为和的木块相连，竖直放置在水平地面上．问至少要向下压多大的力F于上，才可以使突然撤去外力F后恰好离开地面?

解：恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长，且和速度为零．　

(1)　　 应用简谐振动的对称性求解：不离开地面，做简谐振动，

则振幅：　 　

加压力F时　　

(2)应用动能定理求解：对撤去力F至恰好离开地面全过程作用由动能定理得：

　 ①　

加压力F时　②　　　　　 由①②解得：

4．(14分)在科技活动中某同学利用自制的电子秤来称量物体的质量。如图所示，托盘和弹簧的质量均不计，滑动变阻器的滑动端通过一水平绝缘轻杆与弹簧上端相连，当托盘中没有放物体时，电压表示数为零。设变阻器的总电阻为R，总长度为L，电源电动势为E，内阻r，限流电阻的阻值为R₀，弹簧劲度系数为k，不计一切摩擦和其他阻力，电压表为理想电压表。当托盘上放上某物体时，电压表的示数为U，求此时称量物体的质量。

　　　 解.设托盘上放上质量为m的物体时，弹簧的压缩量为x，则mg=kx ①(3分)

　　　 由全电路欧姆定律知：②(4分)由部分电路欧姆定律知：U=I·R′=I·③(4分)

　　　 联立①②③求解得：④(3分)

　　　 5．(14分)如图所示，半径分别为R和r (R>r)的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻弹簧a、b被两小球夹住，同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求：

　　 (1)两小球的质量比.

　　　 (2)若，要求ab都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能.

　　　 解.(1)a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点的速度分别为　 ①1分

　　 　②1分　 由动量守恒定律③　 2分

　　 机械能守恒定律　 ④1分　　　 　⑤1分　　

　　　 联立①②③④⑤得　 3分　　　

　　 (2)若，由动量守恒定律得。2分

　　 当a球恰好能通过圆轨道的最高点时，E_弹最小， 3分

3．(19分)如图所示，将质量为的平台A连结在劲度系数的弹簧上端，弹簧下端固定在地上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原子为5cm.A的厚度可忽略不计，取10求：

(1)当系统做小振幅简谐振动时，A的平衡位置离地面C多高？

(2)当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力有多大？

(3)为使B在振动中始终与A接触，振幅不能超过多大？

解：(1)振幅很小时，A、B间不会分离，将A和B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得(1分)

得形变量(2分)

平衡位置距地面高度(2分)

(2)当A、B运动到最低点，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A　

最大加速度(3分)

取B为研究对象，有(2分)

得A、B间相互作用力(2分)

由牛顿第三定律知，B对A的最大压力大小为(1分)

(3)为使B在振动中始终与A接触，在最高点时相互作用力应满足：(2分)

取B为研究对象，，当N=0时，B振动的加速度达到最大值，且最大值(方向竖直向下)(1分)

因，表明A、B仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长(1分)

　　 振幅不能大于1cm(2分)

1．(13分)一个劲度系数为K=800N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m=12kg物体A和B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图所示。施加一竖直向上的变力F在物体A上，使物体A从静止开始向上做匀加速运动，当t=0.4s时物体B刚离开地面(设整个匀加速过程弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s²).求：

(1)此过程中物体A的加速度的大小。　

(2)此过程中所加外力F所做的功。

　　　 解：(1)开始时弹簧被压缩X₁，对A：KX₁=m_Ag　　 ①(1分)

B刚要离开地面时弹簧伸长X₂，对B：KX₂=m_Bg　　 ②(2分)

又m_A=m_B=m　　 代入①②得：X₁=X₂

整个过程A上升：S=X₁+X₂=2mg/K=0.3米　　 (2分)

根据运动学公式：　　 物体A的加速度：(2分)

　(2)设A末速度为V_t 则由：得：(2分)

∵X₁=X₂　 ∴此过程初、末位置弹簧的弹性势能不变，弹簧的弹力做功为零。设此过程中所加外力F做功为W，根据动能定理：(3分)　

(1分)

　　　 2．(15分)如图所示，光滑水平面上放有A、B、C三个物块，其质量分别为m_A=2.0gk，m_B=m_C=1.0kg，用一轻弹簧连接A、B两物块，现用力压缩弹簧使三物块靠近，此过程外力做功72J，然后释放，求：

　 (1)释放后物块B对物块C一共做了多少功？

　 (2)弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能为多大？

　　　 解：(1)释放后，在弹簧恢复原长的过程中B和C和一起向左运动，当弹簧恢复原长后B和C的分离，所以此过程B对C做功。

选取A、B、C为一个系统，在弹簧恢复原长的过程中动量守恒(取向右为正向)：

　 ①　 (3分)

系统能量守恒：　 ②　 (2分)

∴B对C做的功：　 ③　 (2分)　 联立①②③并代入数据得：　 (1分)

(2)B和C分离后，选取A、B为一个系统，当弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大，此时A、B具有共同速度v，取向右为正向,

由动量守恒：④　 (3分)

弹簧的最大弹性势能： ⑤(2分)

联立①②④⑤并代入数据得：E_p=48J(2分)

22、据报道，美国宇航局发射的“勇气”号和“机遇”号孪生双子火星探测器在2004年1月4日和1也25日相继带着地球人的问候在火星着陆。假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径m，地球的轨道半径m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需多长时间:( C )

　　 A．1.4年　　 　　 B．4年　　　 　　　 　C．2.0年　　　 　 D．1年

21、千年飞天梦，今朝终成真，2003年10月15日，我国发射了自行研制的“神舟”五号载人飞船，次日载人舱着陆，实验获得成功。航天英雄杨利伟在乘坐宇宙飞船绕地球运行的过程中，根据科学研究的需要，要经常改变飞船的运行轨道，这是靠除地球的万有引力外的其他力作用实现的．假设飞船总质量保持不变，开始飞船只在地球万有引力作用下做匀速圆周运动，则在飞船运行轨道半径减小的过程中:(A )

　　 A．其他力做负功，飞船的机械能减小　　 B．其他力做正功，飞船的机械能增加

　　 C．其他力做正功，飞船的动能增加　　　 D．其他力做负功，飞船的动能减小

　　 六、双星问题