7．(16分)火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径，地球的轨道半径，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？(保留两位有效数字)

解：设行星质量m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律，

行星受太阳的万有引力(2分)

行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有(2分)

　(1分)　　　 以上式子联立　 故(1分)

地球的周期年，(1分) 　火星的周期(2分)

年=1.8年　 (1分)

设经时间t两星又一次距离最近，根据(2分)

则两星转过的角度之差(2分)

　 (2分，答“2.2年”同样给分)

6．(13分)现代宇宙学告诉我们，恒星在演变过程中，会形成一种密度很大的天体，成为白矮星或中子星，1m³的中子星物质的质量为1.5×10¹⁷kg，绕此中子星运行的卫星的最小周期为多少?(G=6.67×10^-11 N·m²/kg²，球的体积)若某一中子星半径为10km,求此中子星的第一宇宙速度.

解：中子量质量(1)2分　 　　　(2)2分

　　 由(1)(2)两式得：　 1分　　 　1分　

　　 (3) 3分

　　 由(1)(3)两式得：　 1分　　 　2分

5．(14分)2003年10月15日，我国成功发射了第一艘载人宇宙飞船“神舟五号”。火箭全长58.3m，起飞重量479.8t，火箭点火升空，飞船进入预定轨道。“神舟五号”环绕地球飞行14圈约用时间21h。飞船点火竖直升空时，航天员杨利伟感觉“超重感比较强”，仪器显示他对座舱的最大压力等于他体重的5倍。飞船进入轨道后，杨利伟还多次在舱内飘浮起来。假设飞船运行的轨道是圆形轨道。(地球半径R取6.4×10³km，地面重力加速度g取10m/s²，计算结果取二位有效数字。)

　　 (1)试分析航天员在舱内“飘浮起来”的现象产生的原因。

　　 (2)求火箭点火发射时，火箭的最大推力。

　　 (3)估算飞船运行轨道距离地面的高度。

解：(1)航天员在舱内“飘浮起来”，是失重现象，航天员做圆周运动，万有引力用来充当向心力，航天员对支撑物的压力为零，故航天员“飘浮起来”。(3分)

　　 (2)火箭点火时，航天员受重力和支持力作用且N=5g

　　 此时有：

　　 此加速度即火箭起飞时的加速度，对火箭进行受力分析，列方程：F-Mg=Ma(2分)

解得火箭的最大推力：F=2.40×10⁷N(2分)

　　 (3)飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力是其向心力，

4．(16分)2003年10月15日9时，我国的“神舟”五号载人飞船发射成功，在轨飞行14圈后经历姿态调整开始返回。在飞船返回舱距地面20km时，速度减为200m/s而匀速下降。当返回舱距地面10km时，打开降落伞，直到速度达到8.0m/s后匀速下降。当返回舱离地面1.2m时反冲发动机点火，使质量为2.7×10³kg的返回舱安全软着陆(即着陆速度为0)，取g=10m/s²。

　　 (1)假设返回舱匀速下降时受空气阻力为，式中为大气密度，v为返回舱运动速度，S为与形状有关的受阻力面积。用字母表示出返回舱在速度为200m/s时的质量：

　　 (2)求反冲发动机的平均推力和反冲发动机对返回舱所做的功。

　　 解：(1)根据已知条件：　 得

　　 (2)当返回舱离地面1.2m时反冲发动机点火，返回舱向下做匀减速运动直到软着陆，依公式　

　　 依牛顿第二定律，有　 　　得平均推力　

　　 依动能定理，有　 　　得　

3．(14分)2003年10月15日，我国成功发射了“神舟”五号载人宇宙飞船。火箭全长58.3m，起飞质量为479.8t，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员杨利伟有较强的超重感，仪器显示他对座舱的最大压力达到他体重的5倍。飞船进入轨道后，21h内环绕地球飞行了14圈。将飞船运行的轨道简化为圆形，求

　　 (1)点火发射时，火箭的最大推力。(g取10m/s²)

　　 (2)飞船运行轨道半径与同步卫星轨道半径之比。

解：(1)对宇航员进行受力分析并根据牛顿第二定律便有N=5mg(1分)

N－mg=ma(2分)

对火箭应用牛顿第二定律便有F－Mg=Ma(2分)

由上式可以解得F=5Mg=2.4×10⁷N(2分)

　 (2)飞船运行周期为(1分)，

轨道半径为r₁，同步卫星运行周期为T₂=24h(1分)，

轨道半径为r₂,对飞船及同步卫星分别有

2．(20分)“神舟”五号载人飞船绕地球14圈后安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。

(1)试估算“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期T为多少秒？(保留二位有效数字)

(2)设“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期为T、地球表面的重力加速度为g、地球半径为R，用T、g、R能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式(不必代入数据计算)。

解：(1)由题意可知：“神舟”五号载人飞船绕地球14圈共同时间为21小时23分钟，故飞船绕地球做圆周运动的周期T≈5.5×10³s①

(2)对“神舟”五号，万有引力作为圆周运动的向心力② 在地球表面　 ③

可得“神舟”五号轨道半径(或轨道周长④

此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率 ⑤

运行角速度 ⑥　　 运行线速度 ⑦

运行向心加速度(加速度、轨道处重力加速度) ⑧

离地面高度　 ⑨

1．(10分)试证明太空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的平方根成反比。

　　 证：设天体的质量为M，半径为R，密度为，卫星的质量为m，周期为T。

　　 则：绕天体运行的卫星的轨道半径约为R，依牛顿第二定律有：

　　 　 可得得证。

6．(14分)如图所示，质量M＝2kg的平板小车后端放有质量m＝3kg的铁块，它和车之间的动摩擦因数＝0.5，开始时车和铁块一起以的速度向右在光滑水平地面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞．设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反，平板车足够长，使得铁块总不能和墙相碰．求：

　(1)铁块在车上滑行的总路程；

　(2)车和墙第一次相碰以后所走的总路程．(g取)

解：(1)由于m＞M，小车不论与墙相撞多少次，系统的总动量总是向右，但每撞一次总动量减少一次，直到减为零，最后小车停在墙下，系统的总动能全部用于铁块在车上滑行时克服摩擦力做功．

(2)小车第一次与墙相撞后向左所走路程为，由动能定理得

接着小车和铁块以共同速度与墙第二次相碰，由动量守恒：　　第二次相撞后平板车向左走的路程为　，　以后每次相碰反弹向左行的路程均以比例减少，小车所走的路程为一个无穷等比数列之和．

公比　…

　　 7．(11分)如图所示，竖直平面内半径为R的光滑半圆形轨道，与水平光滑轨道AB相连接，AB的长度为s。一质量为m的小球，在水平恒力F的作用下由静止开始从A向B运动，到B点时撤去F，小球沿圆轨道运动到最高点C时对轨道的压力为2mg。求：

　　 (1)小球在C点的加速度大小。

　　 (2)恒力F的大小。

　　 解：(1)由牛顿第三定律知在C点，轨道对小球的弹力为F_N=2mg(1分)

　　 小球C点时，受到重力和轨道对球向下的弹力，由牛顿第二定律得

　　 F_N+mg=ma　 解得a=3g。(2分)

(2)设小球在B、C两点的速度分别为v₁、v₂，在C点由(2分)

　　 从B到C过程中，由机械能守恒定律得

　　 从A到B过程中，由运动学公式得　 (2分)

　　 由牛顿第二定律：　 (1分)

　　 8．(10分)如图13所示，甲车质量为，静止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一个质量为的小物体. 乙车质量为，以的速度向左运动，与甲车碰撞后，甲车获得的速度，物体滑到乙车上. 若乙车足够长，上表面与物体的动摩擦因数为，求：

(1)甲、乙两车碰后瞬间，乙车的速度；

(2)物体在乙车表面上滑行多长时间相对乙车静止？(取)

解：(1)乙车与甲车碰撞过程中，小物体仍保持静止，甲、乙组成的系统动量守恒，有

　 (3分)

　 乙车速度为(1分)

(2)小物体m在乙上滑至两者有共同速度的过程中动量守恒：(3分)　

对小物体m有　 (2分)

　 代入数据得(1分)

5．(22分)如图所示，在动摩擦因数为μ=0.50的绝缘水平面上放置一质量为m=2.0×10^-3kg的带正电的小滑块A，所带电荷量为q=1.0×10^-7C。在A的左边l=0.9m处放置一个质量为M=6.0×10^-3kg的不带电的小滑块B，滑块B与左边竖直绝缘墙壁相距s=0.05m，在水平面上方空间加一方向水平向左的匀强电场，电场强度为E=4.0×10⁵N/C。A由静止开始向左滑动并与B发生碰撞，设碰撞过程的时间极短，碰撞后两滑块结合在一起共同运动并与墙壁相碰撞，在与墙壁碰撞时没有机械能损失，也没有电量的损失，且两滑块始终没有分开，两滑块的体积大小可忽略不计。(g取10m/s²)

　　 (1)试通过计算分析A与B相遇前A的的受力情况和运动情况，以及A与B相遇后、A和B与墙壁碰撞后A和B的受力情况和运动情况。

　 (2)两滑块在粗糙水平面上运动的整个过程中，由于摩擦而产生的热量是多少？(结果保留两位有效数字)

　　 解：(1)滑块A受电场qE=4.0×10^－2N，方向向左，摩擦力f=μmg=1.0×10^－2N，方向向右。在这两个力作用下向左做初速度为零的匀加速直线运动，直到与B发生碰撞。(2分)

　 滑块A与B碰撞并结合在一起后，电场的大小仍为qE=4.0×10^－2N，方向向左，摩擦力的大小为f=μ(m+M)g=4.0×10^－2N，方向向右。A、B所受合力为零，所以A、B碰后一起向着墙壁做匀速直线运动。(3分)

　 A、B一起与墙壁撞后，两滑块受到的电场力与摩擦力的大小不变，方向都是向左的，所以A、B与墙壁碰后一起向右做匀减速直线运动，直至速度减为零，之后，两物体保持静止状态。　　　　　　　　　　　　　 (4分)

　 (2)在A、B碰撞之前摩擦力做功为：W₁=μmgl=9.0×10^－3J　　　　　　　　 (2分)

　 A、B、碰撞前的过程，由动能定理，得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

根据动量守恒定律，得两滑块碰后运动的速度大小为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

两滑块共同运动，与墙壁发生碰撞后返回直到静止，这段过程中，设两滑块最后静止的位置距墙壁的距离为L₂，根据动能定理，

　　　　　　　　　 (3分)

在A、B碰撞之后到两滑块停下的过程中，滑块克服摩擦力做功为　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

整个过程中和生的热Q等于滑块克服摩擦力做功的总和，即

4．(22分)如图，长为L＝0.5m、质量为m＝1.0kg的薄壁箱子，放在水平地面上，箱子与水平地面间的动摩擦因数＝0.3．箱内有一质量也为m＝1.0kg的小滑块，滑块与箱底间无摩擦．开始时箱子静止不动，小滑块以的恒定速度从箱子的A壁处向B壁处运动，之后与B壁碰撞．滑块与箱壁每次碰撞的时间极短，可忽略不计．滑块与箱壁每次碰撞过程中，系统的机械能没有损失．．求：

　(1)要使滑块与箱子这一系统损耗的总动能不超过其初始动能的50%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？

　(2)从滑块开始运动到滑块与箱壁刚完成第三次碰撞的期间，箱子克服摩擦力做功的平均功率是多少？

　(，，，)

解：(1)设箱子相对地面滑行的距离为s，依动能定理和题目要求有

　系统损失的总动能为×50%　 (3分)

　解得　　　　　　 (2分)

　由于两物体质量相等，碰撞时无能量损失，故碰后交换速度．即小滑块与箱子碰后小滑块静止，箱子以小滑块的速度运动．如此反复．第一次碰后，小滑块静止，木箱前进L；第二次碰后，木箱静止，小滑块前进L；第三次碰后，小滑块静止，木箱前进L．因为L＜s＜2L，故二者最多碰撞3次．　　　　　 (3分)

　(2)从滑块开始运动到刚完成第三次碰撞，箱子前进了L

　箱子克服摩擦力做功　　　(2分)

　第一次碰前滑块在箱子上匀速运动的时间　　(2分)

　第二次碰前箱子匀减速的加速度大小　 (1分)

　设箱子匀减速的末速度为v，时间为　　　 (1分)

　　　　　　　 　　　　　 (1分)

　求出　　　　　　　　　　　(1分)

　第三次碰前滑块在箱子上匀速运动的时间　　 (2分)

　从滑块开始运动到刚完成第三次碰撞经历的总时间为

　　　　　 　　　　　 (1分)

　摩擦力做功的平均功率为　　　　　(3分)