1．方程的根与函数的零点

(1)函数零点

概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

二次函数的零点：

1)△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；

2)△＝0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

3)△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关

预计2010年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力

(1)题型可为选择、填空和解答；

(2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是

④区分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简(或求解)，一般应考虑先化简(或求解)；

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；

+(200÷30)＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54(个)

点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：集合综合题

例11．(1999上海，17)设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。

解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。

由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。

因为AB，所以，于是0≤a≤1。

点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n,设集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

(2)A∩B至多有一个元素；

(3)当a₁≠0时，一定有A∩B≠。

解：(1)正确；在等差数列{a_n}中，S_n=,则(a₁+a_n),这表明点(a_n,)的坐标适合方程y(x+a₁),于是点(a_n, )均在直线y=x+a₁上。

(2)正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，

当a₁=0时，方程(^*)无解，此时A∩B=；

当a₁≠0时，方程(^*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

(3)不正确；取a₁=1，d=1，对一切的x∈N^*，有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x₀,y₀),而x₀=＜0,y₀=＜0，这样的(x₀,y₀)A,产生矛盾，故a₁=1,d=1时A∩B=，所以a₁≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题：

(Ⅰ)设集合，,求实数m的取值范围.

　 分析：关键是准确理解　　 的具体意义，首先要从数学意义上解释　 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

的取值范围是_UM={m|m<-2}.

(解法三)设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于

注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},

、B.

分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

(Ⅲ)

　 分析：正确理解

　 　 　 要使,

由

当k=0时，方程有解,不合题意；

当①

又由

由②，

由①、②得

∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

　 解：设集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中间的位置}，

D={丙站在正中间的位置}，

则集合A、B、C、D的关系如图所示，

∴不同的排法有种.

点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有

(1)设，证明：

(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;

(3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式H。

解：

对任意,,,,所以

对任意的，

，

　 ，

　 所以0<,

令=，

，

所以

反证法：设存在两个使得,。

则由，

得，所以，矛盾，故结论成立。

，

所以

+…

。

点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖

2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

(I)对任何具有性质的集合，证明：；

(II)判断和的大小关系，并证明你的结论．

解：(I)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

(II)解：，证明如下：

(1)对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

(2)对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由(1)(2)可知，．

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件　　　　　　　　　　　　　　　　　

的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)

2. 已知集合A={y|y²-(a²+a+1)y+a(a²+1)>0},B={y|y²-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为(　　　　　 )．

分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．

解：由题知可解得A={y|y>a²+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图

由，得

∴或.

即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.

评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．

例4．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由

解：∵；

∴，即＝0，解得

当时，，为A中元素；

当时，

当时，

∴这样的实数x存在，是或。

另法：∵

∴，

∴＝0且

∴或。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。

变式题：已知集合，,,求的值。

解：由可知，

(1)，或(2)

解(1)得，

解(2)得，

又因为当时，与题意不符，

所以，。

题型3：集合的运算

例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B

(1)求集合A、B

(2)若AB=B,求实数的取值范围．

解　 (1)A＝

B＝

(2)由AB＝B得AB，因此

所以,所以实数的取值范围是

例6．(2009宁夏海南卷理)已知集合,则(　 )

　 A.　　　　　　　　　　 B.

　 C.　　　　　　　　　　 D.

答案　 A

解析　 易有，选A

点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题

例7．(2009年广西北海九中训练)已知集合M=，N=，则_{(　　 )}　

A．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　 　

C．　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．

　 答案　 C

例8．湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学(理)试卷

设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元素，求a的取值集合。

解：

时，　　 ∴

∴

，∴

∴

当时，在此区间上恰有2个偶数。