2．直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点.

直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系

2．与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现.

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。

预测2010年高考：

1．会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；

2．掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题.

1．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；

抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。

本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。

在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：

(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；

(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍(m＞0)”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；

(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；

(4)首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终.

题型1：直线的倾斜角

例1．(2008四川理，4)．

直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为( A )

(A)　(B)　(C)　(D)

[解]：∵直线绕原点逆时针旋转的直线为，从而淘汰(C)，(D)

　　　 又∵将向右平移1个单位得，即　 故选A；

[点评]：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；

[突破]：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；

点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力.

例2．(上海文，18)过圆的圆心，作直线分

别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分(如图)，

若这四部分图形面积满足则直线AB有(　 )

(A) 0条　　 (B) 1条　　 (C)　 2条　　 (D) 3条

[解析]由已知，得：，第II，IV部分的面

积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线

AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线

AB只有一条，故选B。

[答案]B

题型2：斜率公式及应用

例3．全国Ⅰ文16)若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是

　①　 ②　 ③　 ④　　 ⑤　　

其中正确答案的序号是　　　　　 .(写出所有正确答案的序号)

[解析]解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。

[答案]①⑤

(2)已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log₂x的图象交于C、D两点。

(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上。

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

　　　 解析：(1)如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分(包括边界)，而表示点(x，y)与原点连线的斜率，则直线AO的斜率最大，其中A点坐标为，此时，所以的最大值是。

点评：本题还可以设，则，斜率k的最大值即为的最大值，但求解颇费周折。

(2)证明：设A、B的横坐标分别为x₁，x₂，由题设知x₁＞1，x₂＞1，点A(x₁，log₈x₁)，B(x₂，log₈x₂).

因为A、B在过点O的直线上，所以，

又点C、D的坐标分别为(x₁，log₂x₁)，(x₂，log₂x₂)

由于log₂x₁＝＝3log₈x₁，log₂x₂＝＝3log₈x₂，

所以OC的斜率和OD的斜率分别为

。

由此得k_OC＝k_OD，即O、C、D在同一条直线上。

由BC平行于x轴，有log₂x₁＝log₈x₂，解得　 x₂＝x₁³

将其代入，得x₁³log₈x₁＝3x₁log₈x₁.

由于x₁＞1，知log₈x₁≠0，故x₁³＝3x₁，x₁＝，于是点A的坐标为(，log₈).

点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.

　　　 点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与椭圆的位置关系使问题解决的十分准确与清晰。

题型3：直线方程

例4．已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。

　　 解析：(1)将移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。

　　 (2)因为点(2，1)、(0，)均满足方程，故它们为直线上的两点。

　　 由两点式方程得：

　 　即

　　 (3)由知：直线在y轴上的截距

　　 又令，得

　　 故直线的截距式方程

点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。

例5．直线经过点P(-5，-4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。

　　 解析：设所求直线的方程为，

　　 ∵直线过点P(-5，-4)，，即。

　 又由已知有，即，

　　 解方程组，得：或

　　 故所求直线的方程为：，或。

　　 即，或

　　 点评：要求的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种：

　　 (1)从点的坐标或中直接观察出来；

　　 (2)由斜截式或截距式方程确定截距；

(3)在其他形式的直线方程中，令得轴上的截距b；令得出x轴上的截距a。

总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常常能起到事半功倍的效果。

题型3：直线方程综合问题

例5．(重庆理，1)直线与圆的位置关系为(　　 )

A．相切 　　　 B．相交但直线不过圆心　　　　 C．直线过圆心　　　　　　　　 D．相离

[解析]圆心为到直线，即的距离，而，选B。

[答案]B

[点评]：此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离；

[突破]：数形结合，使用点到直线的距离距离公式.

例6．(天津文，14)若圆与圆的公共弦长为，则a=________.

[解析]由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，

利用圆心(0，0)到直线的距离d为，解得a=1.

[答案]1

(2)已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线l：x=－1相切，点C在l上。

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(Ⅱ)设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点。

(i)问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

(ii)当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。

(Ⅰ)解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x.

解法二：设M(x，y)，依题意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=。化简得：y²=4x。

(Ⅱ)(i)由题意得，直线AB的方程为y=－(x－1).

由消y得3x²－10x+3=0，

解得x₁=，x₂=3。

所以A点坐标为()，B点坐标为(3，－2)，

|AB|=x₁+x₂+2=。

假设存在点C(－1，y)，使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

由①－②得4²+(y+2)²=()²+(y－)²，

解得y=－。

但y=－不符合①，

所以由①，②组成的方程组无解.

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形。

(ii)解法一：设C(－1，y)使△ABC成钝角三角形，由得y=2，

即当点C的坐标为(－1，2)时，A、B、C三点共线，故y≠2。

又|AC|²=(－1－)²+(y－)²=+y²，

|BC|²=(3+1)²+(y+2)²=28+4y+y²，

|AB|²=()²=。

当∠CAB为钝角时，cosA=<0。

即|BC|² >|AC|²+|AB|²，即，

即y>时，∠CAB为钝角.

当|AC|²>|BC|²+|AB|²，即，

即y<－时，∠CBA为钝角。

又|AB|²>|AC|²+|BC|²，即，

即。

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是。

解法二：以AB为直径的圆的方程为(x－)²+(y+)²=()²。

圆心()到直线l：x=－1的距离为，

所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G(－1，－)。

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角。

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

过点A且与AB垂直的直线方程为。

令x=－1得y=。

过点B且与AB垂直的直线方程为y+2(x－3)。

令x=－1得y=－。

又由解得y=2，

所以，当点C的坐标为(－1，2)时，A、B、C三点共线，不构成三角形。

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y<－或y>(y≠2)。

点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。

题型4：圆的方程

例7．(1)已知△ABC的三个项点坐标分别是A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)，求△ABC外接圆的方程。

　　 分析：如果设圆的标准方程，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a，b，r，写出圆的标准方程；如果注意到△ABC外接圆的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标和半径，也可以写出圆的标准方程。

解法一：设所求圆的方程是　　　　　　 ①

因为A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程①，于是

　 可解得

所以△ABC的外接圆的方程是。

解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、BC的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。

∵，，线段AB的中点为(5，－1)，线段BC的中点为，

图4－1

∴AB的垂直平分线方程为，　 ①

BC的垂直平分线方程　　　　 ②

解由①②联立的方程组可得

∴△ABC外接圆的圆心为E(1，－3)，

半径。

故△ABC外接圆的方程是．

点评：解法一用的是“待定系数法”，解法二利用了圆的几何性质.

(2)求过A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：细心的同学已经发现，本题与上节例1是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程．现在再尝试用圆的一般方程求解(解法三)，可以比较一下哪种方法简捷。

解析：设圆的方程为　　　　　　　　　　　 ①

因为三点A(4，1)，B(6，－3)，C(－3，0)都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解，将它们的坐标分别代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组：

　　 ，解得。

所以，圆的方程是。

圆心是坐标(1，－3)，半径为。

点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法．一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些.

例8．若方程。

　　 (1)当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆。

　　 (2)当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。

　 解析：(1)由，

　　 ，

　　 当且仅当时，

　　 即时，给定的方程表示一个圆。

　　 (2)设圆心坐标为，则(为参数)。

消去参数，为所求圆心轨迹方程。

点评：圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。

题型5：圆的综合问题

例9．如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A(0，a)，B(0，b)()，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值.

　　　 解析：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中由正弦定理，有　 。

　　　 其中R是△ABC的外接圆的半径。

　　　 可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值.

　　　 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点C即为所求。

　　　 由切割线定理，得：

　　　 所以 ，即点C的坐标为时，∠ACB取得最大值。

点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。

例10．已知⊙O′过定点A(0，p)(p>0)，圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ。

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；

(2)求+的最大值，并求取得最大值的θ值。

解析：设O′(x₀，y₀)，则x₀²=2py₀ (y₀≥0)，⊙O′的半径|O′A|=，⊙O′的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-p)²。令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²－2x₀x+x₀²－p²=0，解得x_M=x₀ – p，x_N=x₀+p，∴|MN|=| x_N – x_M|=2p为定值。

(2)∵M(x₀-p，0) ，N(x₀+p，0)　

　∴d₁=，d₂=，则d₁²+d₂²=4p²+2x₀²，d₁d₂=，

∴+===2=2≤2=2。

当且仅当x₀²=2p²，即x=±p，y₀=p时等号成立，∴+的最大值为2。

此时|O′B|=|MB|=|NB|(B为MN中点)，又O′M=O′N，

∴△O′MN为等腰直角三角形，∠MO′N=90°，则θ=∠MO′N=45°。

点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法.

(全国Ⅱ理16)已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为　　　　　　　　 。

[解析]设圆心到的距离分别为,则.

四边形的面积

[答案]5

5．圆的方程

圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。

圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。

二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：①、项项的系数相同且不为0，即；②、没有xy项，即B=0；③、。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称	方程	说明	适用条件
斜截式	y=kx+b	k--斜率 b--纵截距	倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式	y-y0=k(x-x0)	(x0，y0)--直线上 已知点，k--斜率	倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式	=	(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点	与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式	+=1	a--直线的横截距 b--直线的纵截距	过(0，0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式	Ax+By+C=0	，，分别为斜率、横截距和纵截距	A、B不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于x 轴)的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。