4、正多面体的概念:____________________种类:_______________________________.
3、棱椎:
⑴棱锥:有一个面是_______________(底面)②其余各面都是有__________________(侧面).
正棱锥:底面____________② 顶点________________ 叫正棱锥
⑵棱椎的截面性质定理:_________________________.
⑶正棱锥的性质 :①________________________②___________________________.
2、棱柱:
(1)棱柱的有关概念: 的多面体叫棱柱; 的
棱柱叫直棱柱; 的棱柱叫正棱柱; 叫平行六面体;
_______________________________叫长方体; 的叫正方体.
(2)棱柱的分类:
①按侧棱与底面的位置关系分:侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱,侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱, 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
②按底面多边形的边数分:棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
{正方体}⊊{长方体}⊊{直平行六面体}⊊{平行六面体}⊊{四棱柱}
(3)棱柱的性质:①___________________②___________________③__________________.
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,对角线长为l ,则l 2=a 2+b 2+c 2
(4)两个定理①______________________________;②_______________________________.
1、多面体:
____________________________________________________________________
11、二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.
二面角的平面角θ的取值范围是0°<θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图,∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质:
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在平面与二面角的两个面都垂直,即平面PCD⊥α,
平面PCD⊥β.
10、直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种:
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围:
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形,求出其大小.
9.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等.
推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义:a、b是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围: .
(3)求解方法
①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ;
②解含有θ的三角形,求出角θ的大小.
7.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:
(i)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;
(ii)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
6.线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,a?β,α∩β=b,则a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b
(2)两直线垂直的判定
①定义:若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα,a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
(3)直线与平面平行的判定
①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行.即
若aα,bα,a∥b,则a∥α.
③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,lα,则l∥β.
(4)直线与平面垂直的判定
①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若mα,nα,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α∥β,l⊥β,则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α⊥β,a∩β=α,lβ,l⊥a,则l⊥α.
(5)两平面平行的判定
①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若a,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(6)两平面垂直的判定
①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α-a-β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若l⊥β,lα,则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ.
(7)线、线关系和线、面关系的辨证法
5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
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