3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x²+(a∈R)，则下列结论正确的是　　　　　　 (　)

A.∀a∈R，f(x) 在(0，+∞)上是增函数

B.∀a∈R，f(x)在(0，+∞)上是减函数

C.∃a∈R，f(x)是偶函数

D.∃a∈R，f(x)是奇函数

解析：当a＝16时，f(x)＝x²+，f′(x)＝2x－，

令f′(x)＞0得x＞2.

∴f(x)在(2，+∞)上是增函数，故A、B错.

当a＝0时，f(x)＝x²是偶函数，故C正确.

D显然错误，故选C.

答案：C

2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x²－ax+4，若f(x+1)是偶函数，则实数a的值为(　)

A.－1　　 　B.1 　　C.－2　 　　　　D.2

解析：∵f(x)＝x²－ax+4，

∴f(x+1)＝(x+1)²－a(x+1)+4

＝x²+2x+1－ax－a+4

＝x²+(2－a)x+5－a，

f(1－x)＝(1－x)²－a(1－x)+4

＝x²－2x+1－a+ax+4

＝x²+(a－2)x+5－a.

∵f(x+1)是偶函数，

∴f(x+1)＝f(－x+1)，

∴a－2＝2－a，即a＝2.

答案：D

1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是　　　　　　 (　)

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)+x.

A.①③　 　　　　　　B.②③

C.①④　 　　　　　　D.②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.

答案：D

12.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意的正实数x，y都有f(xy)＝f(x)+f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(4)＝1，

(1)求证：f(1)＝0；

(2)求f()；

(3)解不等式f(x)+f(x－3)≤1.

解：(1)证明：令x＝4，y＝1，则f(4)＝f(4×1)＝f(4)+f(1).∴f(1)＝0.

(2)f(16)＝f(4×4)＝f(4)+f(4)＝2，f(1)＝f(×16)＝f()+f(16)＝0，

故f()＝－2.

(3)设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f()＞0，

∴f(x₁)＝f(×x₂)＝f()+f(x₂)＞f(x₂).

∴f(x)为x∈(0，+∞)上的增函数.

又∵f(x)+f(x－3)＝f[x(x－3)]≤1＝f(4)，

∴⇒3＜x≤4.

∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}.

11.已知函数f (x)＝，x∈[1，+∞).

(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；

(2)当a＝时，求f(x)的最小值；

(3)若a为正常数，求f(x)的最小值.

解：(1)当a＝4时，f(x)＝x++2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，+∞)上是增函数.

∴f(x)_min＝f(2)＝6.

(2)当a＝时，f(x)＝x++2.

易知，f(x)在[1，+∞)上为增函数.

∴f(x)_min＝f(1)＝.

(3)函数f(x)＝x++2在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数.

若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，+∞)上先减后增，f(x)_min＝f()＝2+2.

若≤1，即0<a≤1时，

f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，

∴f(x)_min＝f(1)＝a+3.

10.已知函数f(x)＝x²－2ax+a，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，+∞)上一定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.有最小值 　　　B.有最大值　　 C.是减函数 　　　　D.是增函数

解析：由题意a<1，又函数g(x)＝x+－2a在[，+∞)上为增函数，故选D.

答案：D

9.设奇函数f(x)在 [－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t²－2at+1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是　　.

解析：若函数f(x)≤t²－2at+1对所有的x∈[－1,1]都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，

∴1≤t²－2at+1⇔2at－t²≤0，

设g(a)＝2at－t²(－1≤a≤1)，欲使2at－t²≤0恒成立，

则⇔t≥2或t＝0或t≤－2.

答案：t≤－2或t＝0或t≥2

8.(2009·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)＝(1+x)f(x)，则f()的值是　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.0 　　　　　　B.　　　　　　 C.1 　　　　　　　　D.

解析：令x＝－，∴－f()＝f(－)＝f()

(∵f(－)＝f())，∴f()＝0.

令x＝，∴f()＝f()，∴f()＝0.

令x＝，∴f()＝f()，∴f()＝0.

答案：A

7.已知f (x)是定义在(－∞，+∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f (log₄7)，b＝f (log3)，c＝f (0.2^0.6)，则a，b，c的大小关系是　　　　　　　　　　　　 (　)

A.c<b<a　 　　　　B.b<c<a　　　　　 C.c>a>b 　　　　　　　D.a<b<c

解析：由题意f (x)＝f (|x|).

∵log₄7＝log₂>1，|log3|＝log₂3>1,0<0.2^0.6<1，

∴|log3|>|log₄7|>|0.2^0.6|.

又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数且为偶函数，

∴f(x)在[0，+∞)上是减函数.∴c>a>b.

答案：C

6.已知函数f (x)＝ (a≠1).

(1)若a＞0，则f (x)的定义域是　　；

(2)若f (x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是　　.

解析：当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]；

(2)当a－1＞0，即a＞1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3.

当a－1＜0，即a＜1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a＞0，

此时a＜0.

综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3].

答案：(1)(－∞，]　(2)(－∞，0)∪(1,3]