5.(2010·海口模拟)方程|x²－2x|＝a²+1(a∈(0，+∞))的解的个数是　　　　　　 (　)

A.1个　　　　 B.2个

C.3个　 　　　　　　　D.4个

解析：∵a∈(0，+∞)，∴a²+1＞1，∴y＝|x²－2x|的图象与y＝a²+1的图象总有两个交点，∴方程有两解.故选B.

答案：B

4.已知函数f(x)＝x²+bx+c且f(1+x)＝f (－x)，则下列不等式中成立的是　　　　 (　)

A.f(－2)＜f(0)＜f(2)

B.f(0)＜f (－2)＜f (2)

C. f (0)＜f (2)＜f (－2)

D. f (2)＜f (0)＜f (－2)

解析：∵f (1+x)＝f(－x)，

∴(x+1)²+b(x+1)+c＝x ²－b x+c，

∴x²+(2+b)x+1+b+c＝x²－bx+c，

∴2+b＝－b，即b＝－1，

∴f(x)＝x ²－x+c，其图象的对称轴为x＝，

∴f(0)＜f(2)＜f(－2).

答案：C

3.比较下列各组值的大小：

(1)和－；

(2) 、()

　(3)0.2^0.5和0.4^0.3.

解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.

(1)由于幂函数在(0，+∞)上是减函数，

所以，因此 ，

即

(2)由于

因此

(3)由于指数函数y＝0.2^x在R上是减函数，

所以0.2^0.5<0.2^0.3，

又由于幂函数y＝x^0.3在(0，+∞)上是增函数，

所以0.2^0.3<0.4^0.3，故有0.2^0.5<0.4^0.3.

2.函数y＝(n∈N，n>2)的图象的大致形状是　　　　　　　　　　　 　　　(　)

解析：由n>2知－<0，

∴x≠0，且图象在第一象限内为减函数.

答案：A

1.已知幂函数f(x)＝x^α的部分对应值如下表：

x	1
f(x)	1

则不等式f(|x|)≤2的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.{x|－4≤x≤4}　 B.{x|0≤x≤4}　　 C.{x|－≤x≤}　　　 D.{x|0＜x≤}

解析：由表知＝()^α，∴α＝，∴f(x)＝.

∴≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案：A

12.(文)若f(x)＝x²－x+b，且f(log₂a)＝b，log₂f(a)＝2(a>0且a≠1).

(1)求f(log₂x)的最小值及相应x的值；

(2)若f(log₂x)>f(1)且log₂f(x)<f(1)，求x的取值范围.

解：(1)∵f(x)＝x²－x+b，

∴f(log₂a)＝(log₂a)²－log₂a+b＝b，

∴log₂a＝1，∴a＝2.

又∵log₂f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a²－a+b＝4，∴b＝2.

∴f(x)＝x²－x+2.

∴f(log₂x)＝(log₂x)²－log₂x+2＝²+.

∴当log₂x＝，即x＝时，f(log₂x)有最小值.

(2)由题意知

(理)已知f(x)＝log_ax，g(x)＝2log_a(2x+t－2)(a>0，a≠1，t∈R).

(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值；

(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围.

解：(1)当t＝4时，

F(x)＝g(x)－f(x)＝log_a，x∈[1,2]，

令h(x)＝＝4(x++2)，x∈[1,2]，则

h′(x)＝4(1－)＝>0，

∴h(x)在[1,2]上是单调增函数，

∴h(x)_min＝16，h(x)_max＝18.

当0<a<1时，有F(x)_min＝log_a18，

令log_a18＝2求得a＝3>1(舍去)；

当a>1时，有F(x)_min＝log_a16，

令log_a16＝2求得a＝4>1.∴a＝4.

(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，

即当0<a<1，x∈[1,2]时，log_ax≥2log_a(2x+t－2)恒成立，

由log_ax≥2log_a(2x+t－2)可得log_a≥log_a(2x+t－2)，

∴≤2x+t－2，∴t≥－2x++2.

设u(x)＝－2x++2＝－2()²++2

＝－2(－)²+，

∵x∈[1,2]，∴∈[1，].

∴u(x)_max＝u(1)＝1.

∴实数t的取值范围为t≥1.

11.若函数f(x)＝log_a(2x²+x)(a＞0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间是　　.

解析：定义域为(0，+∞)∪(－∞，－)，当x∈(0，)时，2x²+x∈(0,1)，因为a＞ 0，a≠1，设u＝2x²+x＞0，y＝log_au在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a＜1，所以函数f(x)＝log_a(2x²+x)(a＞0，a≠1)的单调递增区间是u＝2x²+x(x∈(－∞，－)∪(0，+∞))的递减区间，即(－∞，－).

答案：(－∞，－)

10.(2009·辽宁高考)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()^x；当x＜4时，f(x)＝f(x+1).则f(2+log₂3)＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A. 　　　B.　　　　 C.　 　　　　　D.

解析：∵2＜3＜4＝2²，∴1＜log₂3＜2.

∴3＜2+log₂3＜4，

∴f(2+log₂3)＝f(3+log₂3)＝f(log₂24)

＝＝＝＝.

答案：A

9.已知f(x)＝log_a(ax²－x)(a＞0，且a≠1)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围.

解：设t＝ax²－x＝a(x－)²－，

若f(x)＝log_at在[2,4]上是增函数，

所以实数a的取值范围为(1，+∞).

8.(文)函数f(x)＝a^x+log_a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　)

A. 　　　B.　　　 C. 2　　　　 　D. 4

解析：故y＝a^x与y＝log_a(x+1)单调性相同且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得.

最值之和：f(0)+f(1)＝a⁰+log_a1+a+log_a2＝a，

∴log_a2+1＝0，∴a＝.

答案：B

(理)函数f(x)＝a^x+log_ax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－，最大值与最小值之积为－，则a等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.2　 　　　B.　　　 C.2或 　　　　　D.

解析：a^x与log_ax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)+f(2)＝－，f(1)·f(2)＝－，解得a＝.

答案：B