5.若ξB(n,p),则Eξ=np
证明如下:
∵ ,
∴ 0×+1×+2×+…+k×+…+n×.
又∵ ,
∴ ++…++…+.
故 若ξ-B(n,p),则np.
4. 期望的一个性质:若(a、b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为
ξ |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
η |
|
|
… |
|
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
于是……
=……)……)
=,
由此,我们得到了期望的一个性质:
3. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令…,则有…,…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下
ξ |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
P |
0.02 |
0.04 |
0.06 |
0.09 |
0.28 |
0.29 |
0.22 |
在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望
根据射手射击所得环数ξ的分布列,
我们可以估计,在n次射击中,预计大约有
次得4环;
次得5环;
…………
次得10环.
故在n次射击的总环数大约为
,
从而,预计n次射击的平均环数约为
.
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数,它反映了射手射击的平均水平.
对于任一射手,若已知其射击所得环数ξ的分布列,即已知各个(i=0,1,2,…,10),我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:
….
1.数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.
8. 离散型随机变量的几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量.“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为,P()=p,P()=q(q=1-p),那么
(k=0,1,2,…, ).于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ |
1 |
2 |
3 |
… |
k |
… |
P |
|
|
|
… |
|
… |
称这样的随机变量ξ服从几何分布
记作g(k,p)= ,其中k=0,1,2,…, .
7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
,(k=0,1,2,…,n,).
于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ |
0 |
1 |
… |
k |
… |
n |
P |
|
|
… |
|
… |
|
称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ-B(n,p),其中n,p为参数,并记=b(k;n,p).
6. 分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1.
5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1,x2,…,x3,…,
ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则称表
ξ |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
P |
P1 |
P2 |
… |
Pi |
… |
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
若是随机变量,是常数,则也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型)
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