2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B.

1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.

(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R⁺，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.

6．在约束条件下，当时，目标函数

　 的最大值的变化范围是

　 A.[6,15]　　　　　　　　　 B.[7,15]

C.[6,8]　　　　　　　　　　 D.[7,8]

§5.3 基本不等式的证明

5.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？

3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

2．画出不等式组表示的平面区域　

1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域.

[例1] ．画出不等式组表示的平面区域.

错解：如图(1)所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.

错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.

正解：如图(2)所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.

[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.

错解：由于　1x－y2　①,

2x+y4　　②,

①+② 得32x6　　 ③

①×(－1)+② 得：02y3　 ④.

③×2+④×(－1)得. 34x－2y12

错因：可行域范围扩大了.

正解：线性约束条件是：

令z＝4x－2y，

画出可行域如右图所示，

由得A点坐标(1.5，0.5)此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.

由得B点坐标(3，1)此时z＝4×3－2×1＝10.

　 54x－2y10

　[例3] 已知,求x²+y²的最值.

错解：不等式组表示的平面区域如右图所示ABC的内部(包括边界)，

令z= x²+y²

由得A点坐标(4，1)，

此时z＝x²+y²＝4²+1²＝17，

由得B点坐标(－1，－6)，

此时z＝x²+y²＝(－1)²+(－6)²＝37，

由得C点坐标(－3，2)，

此时z＝x²+y²＝(－3)²+2²＝13，

　 当时x²+y²取得最大值37，当时x²+y²取得最小值13.

错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.

正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部(包括边界)，

令z= x²+y²,则z即为点(x，y)到原点的距离的平方.

由得A点坐标(4，1)，

此时z＝x²+y²＝4²+1²＝17，

由得B点坐标(－1，－6)，

此时z＝x²+y²＝(－1)²+(－6)²＝37，

由得C点坐标(－3，2)，

此时z＝x²+y²＝(－3)²+2²＝13，

而在原点处，，此时z＝x²+y²＝0²+0²＝0，

　 当时x²+y²取得最大值37，当时x²+y²取得最小值0.

　[例4]某家具厂有方木料90m³，五合板600m²，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m³，五合板2m²，生产每个书橱需要方木料0.2m³，五合板1m²，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？

分析： 数据分析列表

设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为

2x+y-600=0 　 　 A(100,400) 　　　　　　　 x+2y-900=0 　 　2x+3y=0

目标函数z=80x+120y

作出上可行域：

作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A(100，400)时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为

z_max=80×100+400×120=56000(元)

若只生产书桌，得0<x≤300，即最多生产300张书桌，利润为

z=80×300=24000(元)

若只生产书橱，得0<y≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000(元)

　　 答：略

[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：

每张钢板的面积，第一种为1m²，第二种为2 m²，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？

　 解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m²，则

　　 目标函数z=x+2y

作出可行域如图

作一组平行直线x+2y=t，

2x+y=15 　 　 　 　 　 　 x+y=12　　　 x+3y=27 　 x+2y=0

由

可得交点，

但点不是可行域内的整点，其附近的整点(4，8)或(6，7)可都使z有最小值，

且z_min=4+2×8=20 或z_min=6+2×7=20

若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m²);

若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m²).

它们都比z_min大，因此都不行.

答：略

　[例6]设，式中满足条件，求的最大值和最小值.

解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，

当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，

当经过点时，对应最小，∴，．

说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.

5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3)在可行域内求目标函数的最优解.