2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”

为模型的新的形式.

三　经典例题导讲

[例1]求y=的最小值.

错解： y=＝2

y的最小值为2.

错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.

正解：令t=,则t,于是y=

由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.

[例2]m为何值时，方程x²+(2m+1)x+m²－3=0有两个正根.

错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.

错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.

正解：由题意：

因此当时，原方程有两个正根.

[例3]若正数x，y满足，求xy的最大值．

解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以

当且仅当6x=5y时，取“=”号．

因，则，即，所以的最大值为.

[例4]　已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y²的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．

解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y²=(abc)²=(ab)(bc)(ac)

当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y²有最小值

答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.

说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.

不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：

1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.

3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.

2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.

1.利用均值不等式求最值：如果a₁，a₂∈R⁺，那么_.

6．证明：若a > 0，则

§5.4不等式的应用

5.若x > 1，y > 1，求证：

4.若，求证：

3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

2.已知a,b,c,d都是正数，求证：