在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影

3．若P为⊿ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，求证点P在⊿ABC所在平面内的射影是⊿ABC的外心.

分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA=PB=PC，点P的射影到⊿ABC的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC的外心.

1?选择题

　(1)一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(　 )

　　 (A)(0º,90º)　　　 (B)[0º,90º]　　　　　 (C)[0º,180º]　　　　 (D)[0º,180º)

　(2)两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 (　 )

　　　　 (A)1个　　　　　 (B)2个　　　　 (C)3个　　　　 (D)4个

　(3)从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是(　 )

　　　　 (A)0条或1条　　　　　　　　　 (B)0条或无数条　　　　　　　　　　　　

(C)1条或2条　　　　　　　　　　 (D)0条或1条或无数条

　答案：(1)B　 (2)C　 (3)D

2．填空题

　(1)设斜线与平面a所成角为θ，斜线长为，则它在平面内的射影长是　　　　 .

　(2)一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面a所成的角是　　　　 .

　(3)若(2)中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所在直线与平面a所成的角是　　　 .

　　 答案：(1)　 (2)　 (3)

例1 如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角

解：∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，

　又∵，

∴，

∴，即斜线和平面所成角为．

例2．如图，在正方体中，求面对角线与对角面所成的角

解法一：连结与交于，连结，

∵，，∴平面，

∴是与对角面所成的角，

在中，，∴．

解法二：由法一得是与对角面所成的角，

又∵，，

∴，∴．

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式求线面角显得更加方便

解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算

例3．已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值

解：过作平面于点，连接，

∵，∴是正三角形的外心，

设四面体的边长为，则，

∵，∴即为与平面所成角，

∴，所以，与平面所成角的余弦值为．

例4 如图，已知AP⊥BP，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中点，求AD与平面PBC所成角的余弦值.

解：∵AP⊥BP，PA⊥PC，∴AP⊥PBC

连PD，则PD就是AD在平面PBC上的射影

∴∠PDA就是AD与平面PBC所成角

又∵∠ABP=∠ACP=60º，PB=PC=BC，D是BC中点，

∴PD=,　 PA=BC　 ∴AD=

∴

∴AD与平面PBC所成角的余弦值为

4．公式

已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角，且a与a相交成j₁角，a在a上的射影c与b相交成j₂角，则有

用几何法研究：

在平面a的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B

连接OB，则OB⊥b.

在直角△AOP中，.

在直角△ABC中，.

在直角△ABP中，.

所以

所以成立

用向量运算研究：

如图，是平面的斜线，是斜足，垂直于平面，为垂足，则直线是斜线在平面内的射影设是平面内的任意一条直线，且，垂足为，又设与所成角为，与所成角为，与所成角为，则易知：

，

又∵，

可以得到：，

则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；

3．直线和平面所成角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

一直线垂直于平面，所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角

直线和平面所成角范围： [0，]

(2)定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

证明：设平面的一条斜线在内的射影为，角是与所成的角

直线OD是平面内与不同的任意一条直线，过点上的点A引AC垂直于OD，垂足为C

因为AB<AC，

所以，即,因此

1 斜线,垂线,射影

⑴垂线　 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线　 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影 　过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中

⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长

⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长

⑶垂线段比任何一条斜线段都短

⑴OB=OCÞAB=AC　 　OB>OCÞAB>AC

⑵AB=ACÞOB=OC　 AB>ACÞOB>OC

⑶OA<AB，OA<AC

2．直线和平面的位置关系(平行、相交和直线在平面内)

1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：