1.文学常识

①《史记》是中国西汉时期的历史学家司马迁撰写的史学名著，列“二十四史”之首，《史记》是中国古代最著名的古典典籍之一，与后来的《汉书》、《后汉书》、《三国志》合称“前四史”。

　《史记》记载了上自中国上古传说中的黄帝时代，下至汉武帝元狩元年(公元前122年)，共3000多年的历史。作者司马迁以其“究天人之际，通古今之变，成一家之言”的史识，使《史记》成为中国历史上第一部纪传体通史。

　《史记》全书包括十二本纪、三十世家、七十列传、十表、八书，共一百三十篇，五十二万六千五百余字。

　《史记》最初没有固定书名，或称“太史公书”，或称“太史公记”，也省称“太史公”。“史记”本来是古代史书的通称，从三国时期开始，“史记”由史书的通称逐渐成为“太史公书”的专称。

《史记》对后世史学和文学的发展都产生了深远影响。其首创的纪传体编史方法为后来历代“正史”所传承。同时，《史记》还被认为是一部优秀的文学著作，在中国文学史上有重要地位，被鲁迅誉为“史家之绝唱，无韵之《离骚》”。

②《汉书》，又称《前汉书》，由我国东汉时期的历史学家班固编撰，是中国第一部纪传体断代史，“二十四史”之一。《汉书》是继《史记》之后我国古代又一部重要史书，与《史记》、《后汉书》、《三国志》并称为“前四史”。

《汉书》全书主要记述了上起西汉的汉高祖元年(公元前206年)，下至新朝的王莽地皇四年(公元23年)，共230年的史事。

《汉书》包括纪十二篇，表八篇，志十篇，传七十篇，共一百篇，后人划分为一百二十卷，共八十万字。

《汉书》的语言庄严工整，多用排偶、古字古词，遣辞造句典雅远奥，与《史记》平畅的口语化文字形成了鲜明的对照。中国纪史的方式自《汉书》以后，历代都仿照它的体例，纂修了纪传体的断代史。

《汉书》成书于汉和帝时期，前后历时近四十年。班固世代为望族，家多藏书，父班彪为当世儒学大家，“唯圣人之道然后尽心”，采集前史遗事，旁观异闻，作《史记后传》六十五篇。班固承继父志，“亨笃志于博学，以著述为业”，撰成《汉书》。其书的八表和《天文志》，则由其妹班昭及马续共同续成，故《汉书》前后历经四人之手完成。注疏《汉书》者主要有唐朝的颜师古(注)、清朝的王先谦(补注)。

《汉书》开创了我国断代纪传表志体史书，奠定了修正史的编例。史学家意学诚曾在《文史通义》中说过：“迁史不可为定法，固因迁之体，而为一成之义例，遂为后世不桃之宗焉。”历来，“史之良，首推迁、固”，“史风汉”、史班或班马并称，两书各有所长，同为中华史学名著，为治文史者必读之史籍。

《汉书》尤以史料丰富、闻见博洽著称，“整齐一代之书，文赡事详，要非后世史官所能及”。可见，《汉书》在史学史上有重要的价值和地位。

《后汉书》九十卷，南朝宋范晔撰。范晔字蔚宗，顺阳人。出身于一个世族家庭。他的祖父范宁曾任晋豫章太守，著《谷梁集解》一书。《十三经注疏》中的《谷梁传注疏》就是以《谷梁集解》为基础写成的。他的父亲范泰官拜金紫光禄大夫，加散骑常侍，是宋武帝刘裕的得力助手。他博览群书、潜心著述，作《古今善言》二十四篇。所以范晔有很深的家学渊源，一直以名门之后自居，生性孤傲，不拘小节，仕宦不甘居人后，著述也不甘居人后。以此成名，也以此丧身。

元嘉九年(432年)，范晔在为彭城太妃治丧期间，行为失检得罪了司徒刘义康，被贬为宣城太守，范晔郁郁不得志，就借助修史来寄托他的志向，开始写作《后汉书》。元嘉二十二年(445年)，当他完成了本纪、列传的写作，同时又和谢俨共同完成《礼乐志》、《舆服志》、《五行志》、《天文志》 、《州郡志》等五志的时候，有人告发他参与了刘义康的篡位阴谋，因此下狱而死。谢俨怕受牵连，毁掉了手中的志稿，使《后汉书》只有纪传部分流传了下来。

在范晔《后汉书》之前，已问世的有关东汉历史的重要著作不下十部，主要的有东汉刘珍等奉命官修的《东观汉记》、三国时吴国人谢承的《后汉书》、晋司马彪的《续汉书》、华峤的《后汉书》、谢沈的《后汉书》、袁山松的《后汉书》，还有薛莹的《后汉记》，张莹的《后汉南记》、张璠的《后汉记》、袁宏的《后汉记》等。

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；

② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是

④区分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简(或求解)，一般应考虑先化简(或求解)；

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；

+(200÷30)＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54(个)

点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：集合综合题

例11．(1999上海，17)设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。

解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。

由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。

因为AB，所以，于是0≤a≤1。

点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n,设集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)| x²－y²=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

(2)A∩B至多有一个元素；

(3)当a₁≠0时，一定有A∩B≠。

解：(1)正确；在等差数列{a_n}中，S_n=,则(a₁+a_n),这表明点(a_n,)的坐标适合方程y(x+a₁),于是点(a_n, )均在直线y=x+a₁上。

(2)正确；设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，

当a₁=0时，方程(^*)无解，此时A∩B=；

当a₁≠0时，方程(^*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

(3)不正确；取a₁=1，d=1，对一切的x∈N^*，有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a₁=1≠0 如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x₀,y₀),而x₀=＜0,y₀=＜0，这样的(x₀,y₀)A,产生矛盾，故a₁=1,d=1时A∩B=，所以a₁≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题：

(Ⅰ)设集合，,求实数m的取值范围.

　 分析：关键是准确理解　　 的具体意义，首先要从数学意义上解释　 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

的取值范围是_UM={m|m<-2}.

(解法三)设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于

注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

(Ⅱ)已知两个正整数集合A={a₁,a₂,a₃,a₄},

、B.

分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

(Ⅲ)

　 分析：正确理解

　 　 　 要使,

由

当k=0时，方程有解,不合题意；

当①

又由

由②，

由①、②得

∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

　 解：设集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中间的位置}，

D={丙站在正中间的位置}，

则集合A、B、C、D的关系如图所示，

∴不同的排法有种.

点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有 ； ②存在常数，使得对任意的，都有

(1)设，证明：

(2)设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;

(3)设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式H。

解：

对任意,,,,所以

对任意的，

，

　 ，

　 所以0<,

令=，

，

所以

反证法：设存在两个使得,。

则由，

得，所以，矛盾，故结论成立。

，

所以

+…

。

点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖

2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

(I)对任何具有性质的集合，证明：；

(II)判断和的大小关系，并证明你的结论．

解：(I)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

(II)解：，证明如下：

(1)对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

(2)对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由(1)(2)可知，．

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件　　　　　　　　　　　　　　　　　

的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)

2. 已知集合A={y|y²-(a²+a+1)y+a(a²+1)>0},B={y|y²-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为(　　　　　 )．

分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．

解：由题知可解得A={y|y>a²+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图

由，得

∴或.

即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.

评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．

例4．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由

解：∵；

∴，即＝0，解得

当时，，为A中元素；

当时，

当时，

∴这样的实数x存在，是或。

另法：∵

∴，

∴＝0且

∴或。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。

变式题：已知集合，,,求的值。

解：由可知，

(1)，或(2)

解(1)得，

解(2)得，

又因为当时，与题意不符，

所以，。

题型3：集合的运算

例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B

(1)求集合A、B

(2)若AB=B,求实数的取值范围．

解　 (1)A＝

B＝

(2)由AB＝B得AB，因此

所以,所以实数的取值范围是

例6．(2009宁夏海南卷理)已知集合,则(　 )

　 A.　　　　　　　　　　 B.

　 C.　　　　　　　　　　 D.

答案　 A

解析　 易有，选A

点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题

例7．(2009年广西北海九中训练)已知集合M=，N=，则_{(　　 )}　

A．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　 　

C．　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．

　 答案　 C

例8．湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学(理)试卷

设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元素，求a的取值集合。

解：

时，　　 ∴

∴

，∴

∴

当时，在此区间上恰有2个偶数。

题型1：集合的概念

　(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__

答案　 ：12

解析　 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。　 　

例1．(2009广东卷理)已知全集，集合和

的关系的韦恩(Venn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A. 3个　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B. 2个

C. 1个　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　D. 无穷多个

答案　 B

解析　 由得，则，有2个，选B.

例2．(2009山东卷理)集合,,若,则的值

为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.0　　　　　 B.1　　　　　 C.2　　　　　 D.4

答案　 D

解析　 ∵,,∴∴,故选D.

[命题立意]:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

题型2：集合的性质

例3．(2009山东卷理)集合,,若,则的值为 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A.0　　　　　 B.1　　　　　 C.2　　　　　 D.4

答案　 D

解析　 ∵,,∴∴,故选D.

[命题立意]:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

随堂练习

1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x ²+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为　 　　 　　　　 (　　 )

A．{2}　 　　　　　　　　　　　 B．{3}　　

C．{－3，2}　　 　　　　　　　D．{－2，3}　　 　

5．集合的简单性质：

(1)

(2)

(3)

(4)；

(5)(A∩B)=(A)∪(B)，(A∪B)=(A)∩(B)。

4．交集与并集：

(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。

(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。