1．空间两个平面的位置关系(有交点的是相交；没交点的是平行).

7.如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形,且

(1)　　　　　　　 证明C₁C;

(2)　　　　　　　 当的值为多少时，能使A₁C平面C₁BD？请给出证明.

§6.3平面与平面之间的位置关系

6．已知两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，M 、N 分别在它们的对角线AC ，BF 上，且CM=BN ，

求证：MN∥ 平面BCE ．

5．点P 、Q 、R 、S 分别是空间四边形ABCD 四边的中点，则：当AC 时，四边形PQRS 是______形；当AC=BD 时，四边形PQRS 是____形．

4．空间四边形的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别是E 、F 、G 、H ，若两条对角线BD 、AC 的长分别为2和4，则EG²+HF² 的值(　　 )．

A．5　B．10　　　 C．20　　　 D．40

3．若一直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是(　　 )．

　A．平行　B．相交　C．异面　D．平行、相交或异面

2．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是(　　)．

　A．梯形　B．任意四边形　C．平行四边形　D．菱形

1．设a ，b 是空间两条垂直的直线，且b∥平面　 ．则在“a∥平面 ”、“a ”、“a与相交”这三种情况中，能够出现的情况有(　　 )．

　A．0个　B．1　C．2个　D．3个

[例1]已知平面∥平面，直线平面,点P直线,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到的距离为9的点的轨迹是(　 )

A.一个圆　　 B.四个点　　 C.两条直线　　　 D .两个点

错解：A.

错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.

正解：B.　

[例2] a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面(　　 ).

　 A．有且只有一个　　　　　　　　 B．一个面或无数个

　 C．可能不存在　　　　　　　 　　D．可能有无数个

错解：A.

错因：过a与b垂直的平面条件不清.

正解：C.

[例3]由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为⊿ABC的外心，求证：.

错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.

错因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.

正解：取BC的中点D，连PD、OD，

[例4]如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C₁C的交点为N,

求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)PC和NC的长；

(3)平面NMP和平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)

错因：(1)不知道利用侧面BCC₁ B₁展开图求解,不会找 的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.

正解：(1)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

(2)如图，将侧面BC₁旋转使其与侧面AC₁在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁ ，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过CC₁到点M的最短路线.

设PC＝，则P₁C＝，

在

(3)连接PP₁(如图)，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC₁平面ABC，连结CH，由三垂线定理的逆定理得，.

[例5] P是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：PC∥ 平面BDQ ．

　分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．

证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ，

∵四边形ABCD 是平行四边形.

∴AO=CO ，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是 的中位线，∴PC∥OQ ．

∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．

点　评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行.

[例6] 在正方体A₁B₁C₁D₁－ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点．求证：EF垂直平面BB₁O．

证明　： 如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点．

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．

∵B₁B⊥平面ABCD,AC平面ABCD

∴AC⊥B₁B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，

又BO与BB₁是平面BB₁O上的两条相交直线，

∴AC⊥平面BB₁O(线面垂直判定定理)

∵AC∥EF，

∴ EF⊥平面BB₁O．

　[例7]如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 是BB₁ 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE 平面ACD₁ ．

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE 平面ACD₁ ，只要在平面ACD₁ 内找两条相交直线与OE 垂直．

证明：连结B₁D 、A_!D 、BD ，在△B₁BD 中，

　∵E,O 分别是B₁B 和DB 的中点，

　∴EO∥B₁D ．

　∵B₁A₁ 面AA₁D₁D ，

　∴DA₁ 为DB₁ 在面AA₁D₁D 内的射影．

　又∵AD₁A₁D ，

　∴AD₁DB₁　 ．

　同理可证B₁DD₁C ．

　又∵AD₁，AD₁,D₁C 面ACD₁ ，

　∴B₁D 平面ACD₁ ．

　∵B₁D∥OE ，

　∴OE 平面ACD₁ ．

　点　评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．

[例8]．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点N在BD上, 点M在B₁C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA₁B₁B.

证明：

证法一.如图,作ME∥BC,交BB₁于E,作NF∥AD,交AB于F,连EF则EF平面AA₁B₁B.

ME=NF

又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN为平行四边形,

MN∥EF.　 　MN∥平面AA₁B₁B.

证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连B₁P,则B₁P平面AA₁B₁B.

∽,

又CM=DN,B₁C=BD,

∥B₁P.

　 B₁P平面AA₁B₁B, MN∥平面AA₁B₁B.

证法三.如图,作MP∥BB₁,交BC于点P,连NP.

MP∥BB₁,

　 BD=B₁C,DN=CM,

NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA₁B₁B.

MN∥平面AA₁B₁B.

4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离(大于0)相等，则经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.