12．(文)已知点M(1+cos2x,1)，N(1，sin2x+a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．

(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；

(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．

解：(1)依题意得：＝(1+cos2x,1)，＝(1，sin2x+a)，

∴y＝1+cos2x+sin2x+a＝2sin(2x+)+1+a.

∴f(x)的最小正周期为π.

(2)若x∈[0，]，则(2x+)∈[，]，

∴－≤sin(2x+)≤1，

此时y_max＝2+1+a＝4，∴a＝1，

y_min＝－1+1+1＝1.

(理)已知α、β为锐角，向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(，－)．

(1)若a·b＝，a·c＝，求角2β－α的值；

(2)若a＝b+c，求tanα的值．

解：(1)∵a·b＝(cosα，sinα)·(cosβ，sinβ)

＝cosαcosβ+sinαsinβ

＝cos(α－β)＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

a·c＝(cosα，sinα)·(，－)

＝cosα－sinα＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

又∵0＜α＜，0＜β＜，

∴－＜α－β＜.

由①得α－β＝±，由②得α＝.

由α、β为锐角，∴β＝.

从而2β－α＝π.

(2)由a＝b+c可得

③²+④²得cosα－sinα＝，

∴2sinαcosα＝.

又∵2sinαcosα＝

＝＝，

∴3tan²α－8tanα+3＝0.

又∵α为锐角，∴tanα＞0，

∴tanα＝

＝

＝.

11．已知cos(α－)+sinα＝，则sin(α+)的值为________．

解析：∵cos(α－)+sinα＝cosα+sinα＝，

∴cosα+sinα＝，

∴sin(α+)＝－sin(α+)＝－(sinα+cosα)

＝－.

答案：－

10.(2010·晋城模拟)已知向量a＝(sin(α+),1)，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin(α+)等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．－ 　　　　　B．－　　　　　 C. 　　　　　D.

解析：a·b＝4sin(α+)+4cosα－

＝2sinα+6cosα－＝4sin(α+)－＝0，

∴sin(α+)＝.

∴sin(α+)＝－sin(α+)＝－.

答案：B

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别

与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为，.

(1)求tan(α+β)的值；

(2)求α+2β的值．

解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝.因α为锐角，故sinα　　　

＞0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝.

所以tan(α+β)＝＝＝－3.

(2)tan(α+2β)＝tan[(α+β)+β]＝＝－1.

又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α+2β＜，

从而由tan(α+2β)＝－1得α+2β＝.

8．在△ABC中，3sinA+4cosB＝6,4sinB+3cosA＝1，则C等于　　　　 (　)

A．30° 　　B．150°　 C．30°或150° 　　D．60°或120°

解析：已知两式两边分别平方相加，得

25+24(sinAcosB+cosAsinB)＝25+24sin(A+B)＝37，

∴sin(A+B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.

当C＝150°时，A+B＝30°，此时3sinA+4cosB＜3sin30°+4cos0°＝，这与3sinA+4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°.

答案：A

7.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A+B等于　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　B.　　　 C.或 　　　D.

解析：由已知可得cosA＝－，cosB＝－，

∴cos(A+B)＝cosAcosB－sinAsinB＝，

又∵＜A＜π，＜B＜π，

∴π＜A+B＜2π，∴A+B＝.

答案：B

6．已知cos＝，x∈.

(1)求sinx的值；

(2)求sin的值．

解：(1)法一：因为x∈，

所以x－∈，

sin＝ ＝.

sinx＝sin[+]

＝sin(x－)cos+cos(x－)sin

＝×+×＝.

法二：由题设得cosx+sinx＝，

即cosx+sinx＝.

又sin²x+cos²x＝1，

从而25sin²x－5sinx－12＝0，

解得sinx＝或sinx＝－.

因为x∈，所以sinx＝.

(2)因为x∈，

故cosx＝－＝－＝－.

sin2x＝2sinxcosx＝－，

cos2x＝2cos²x－1＝－.

所以sin＝sin2xcos+cos2xsin

＝－.

5．已知α为钝角，且sin(α+)＝，则cos(α+)的值为　　　　　　　　　 (　)

A. 　　B.　　 C．－　 　　　D.

解析：∵α为钝角，且sin(α+)＝，

∴cos(α+)＝－，

∴cos(α+)＝cos[(α+)+]＝cos(α+)cos－sin(α+)sin＝(－)·－·＝－.

答案：C

4.sin(－x)＝，则sin2x的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A. 　　　B.　　　 C.　 　　　D.

解析：∵sin(－x)＝，

∴cosx－sinx＝(cosx－sinx)＝.

∴cosx－sinx＝.

∴(cosx－sinx)²＝1－sin2x＝，

∴sin2x＝.

答案：A

3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α+β)＝________.

解析：∵tanβ＝，

∴tanβ＝＝tan(－α)．

又∵α、β均为锐角，∴β＝－α，即α+β＝，

∴tan(α+β)＝tan＝1.

答案：1