骤)

16．(本小题满分12分)(2010·泉州模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)证明：BD∥平面PEC；

(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.

解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，

∴V_P－ABCD＝PA×S_ABCD＝×4×4×4＝.

(2)证明：连结AC交BD于O点，

取PC中点F，连结OF，

∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，

∴EB∥OF，且EB＝OF，

∴四边形EBOF为平行四边形，

∴EF∥BD.

又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.

(3)连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，

∴∠PBA+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE.

又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，

∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.

15．(2009·江南测试)棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA₁、DD₁的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．

解析：因为正方体内接于球，所以2R=，R=，

过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，

则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR

于点P，所以，在△QPO中，QR=2QP=2

答案：

14．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为________．

解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π·1＝π，于是设底面圆的半径为r，

则有2πr＝π，所以r＝，

于是圆锥的高为h＝＝，

故圆锥的体积为V＝π.

答案：π

13.如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M∈A₁B，

N∈B₁C，A1M=B₁N，有以下四个结论：

①A₁A⊥MN；

②AC∥MN；

③MN与平面ABCD成0°角；

④MN与AC是异面直线．

其中正确结论的序号是　　　.

解析：易知①③④正确．

答案：①③④

12．(2009·辽宁高考)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．

则该几何体的体积为　　m³.

解析：由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，

故所求三棱锥的体积为V=×2××3×4=4 m3，

答案：4

11．如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P为棱DC的中点，则D₁P与BC₁所在直线所成角的余弦值等于________．

解析：过C₁作D₁P的平行线交DC的延长线于点F，连结BF，则∠BC₁F或其补角等于异面直线D₁P与BC₁所成的角．设正方体的棱长为1，由P为棱DC的中点，则易得BC₁＝，

C₁F＝ ＝，

BF＝ ＝.

在△BC₁F中，cos∠BC₁F＝

＝.

答案：

10．已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是(　)

A．(1)(2)(3)　 　　　　B．(1)(4)　　 C．(1)(2)(4) 　　D．(2)(4)

解析：如图1，当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.

答案：C

第Ⅱ卷　(非选择题，共100分)

9.如右图所示，在立体图形D-ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

解析：BE⊥AC，DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE，故平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.

答案：C

8．(2010·皖中模拟)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是　　　　　　　　 (　)

A．81π　 　　　B．36π　　　　 C.　 　　　　　D．144π

解析：补成长方体易求4R²＝81，

∴S＝4πR²＝81π.

答案：A

7．过平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．4条 　　　　B．6条　　　 C．12条　　　 　D．8条

解析：如图，P、E、F、H分别为AD、AB、A₁B₁、

A₁D₁的中点，则平面PEFH∥平面DBB₁D₁，所以

四边形PEFH的任意两顶点的连线都平行于平面DBB₁D₁，

共6条，同理在另一侧面也有6条，共12条．

答案：C