21． (本小题满分14分)设椭圆ax²+by²＝1与直线x+y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，那么A、B的坐标是方程组的解．

由ax+by＝1，ax+by＝1，两式相减，得

a(x₁+x₂)(x₁－x₂)+b(y₁+y₂)(y₁－y₂)＝0，

因为＝－1，

所以＝，

即＝，＝＝，所以b＝a.　　　　　　　　　　　　　　 ①

再由方程组消去y得(a+b)x²－2bx+b－1＝0，

由|AB|＝＝

＝＝2，

得(x₁+x₂)²－4x₁x₂＝4，即()²－4·＝4.　　　　　　　　　 ②

由①②解得a＝，b＝，

故所求的椭圆的方程为+＝1.

20．(本小题满分13分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝(+)．

(1)求E点的轨迹方程；

(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．

解：(1)设E(x，y)，由＝(+)，可知E为线段BD的中点，

又因为坐标原点O为线段AB的中点，

所以OE是△ABD的中位线，

所以||＝||＝1，

所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上，

又因为A，B，D三点不在一条直线上，

所以E点不能在x轴上，

所以E点的轨迹方程是x²+y²＝1(y≠0)．

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，中点为(x₀，y₀)，椭圆的方程为+＝1，直线MN的方程为y＝k(x+2)(当直线斜率不存在时不成立)，

由于直线MN与圆x²+y²＝1(y≠0)相切，

所以＝1，解得k＝±，

所以直线MN的方程为y＝±(x+2)，

将直线y＝±(x+2)代入方程+＝1，

整理可得：4(a²－3)x²+4a²x+16a²－3a⁴＝0，

所以x₀＝＝－.

又线段MN的中点到y轴的距离为，

即x₀＝－＝－，解得a＝2.

故所求的椭圆方程为+＝1.

19．(本小题满分12分)已知圆(x－2)²+(y－1)²＝，椭圆b²x²+a²y²＝a²b²(a>b>0)的离心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

解：∵e＝＝＝，∴a²＝2b².

因此，所求椭圆的方程为x²+2y²＝2b²，

又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点，

设A(2－m,1－n)，B(2+m,1+n)，则

⇒

⇒得2b²＝16.

故所求椭圆的方程为x²+2y²＝16.

18．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.

解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线．

因为抛物线焦点到准线距离等于4，

所以圆心的轨迹是x²＝8y.

(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：y＝kx+2.

A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由

可得x²－8kx－16＝0，x₁+x₂＝8k，x₁x₂＝－16.

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k₁＝x₁，k₂＝x₂，k₁k₂＝x₁·x₂＝x₁·x₂＝－1.

所以AQ⊥BQ.

17．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l₁、l₂，若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，

连结PM，

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=，

|AB|=,

∴2.

化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程．

16．(本小题满分12分)已知：圆C：x²+y²－8y+12＝0，直线l：ax+y+2a＝0.

(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．

解：将圆C的方程x²+y²－8y+12＝0配方得标准方程为x²+(y－4)²＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.

解得a＝－.

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得

解得a＝－7，或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y+14＝0或x－y+2＝0.

15．过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为______________．

解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，

故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，

|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，

∴∠ABC＝30°，||＝2p，

·＝4p·2p·cos30°＝48，

解得p＝2，

∴抛物线的方程为y²＝4x.

答案：y²＝4x

14．直线l的方程为y＝x+3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x²－4y²＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．

解析：所求椭圆的焦点为F₁(－1,0)，F₂(1,0),2a＝|PF₁|+|PF₂|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF₁|+|PF₂|最小，利用对称性可解．

答案：+＝1

13．(2009·福建高考)过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.

解析：由焦点弦|AB|＝得|AB|＝，

∴2p＝|AB|×，∴p＝2.

答案：2

12．已知点(x₀，y₀)在直线ax+by＝0(a，b为常数)上，则的最小值为________．

解析：可看作点(x₀，y₀)与点(a，b)的距离．而点(x₀，y₀)在直线ax+by＝0上，所以的最小值为点(a，b)到直线ax+by＝0的距离＝.

答案：