20．(本小题满分13分)某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志--“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物--“福娃”．该厂所用的主要原料为A、B两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？

解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，

由题意得

目标函数为z＝700x+1200y.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：

目标函数可变形为y＝－x+，

∵－＜－＜－，

∴当y＝x+通过图中的点A时，最大，z最大．解得点A坐标为(20,24)．

将点A(20,24)代入z＝700x+1200y

得z_max＝700×20+1200×24＝42800元．

答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax²+4(a为非零实数)，设函数F(x)＝.

(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；

(2)设mn＜0，m+n＞0，试判断F(m)+F(n)能否大于0?

解：(1)由f(－2)＝0,4a+4＝0⇒a＝－1，

∴F(x)＝

(2)∵，∴m，n一正一负．

不妨设m＞0且n＜0，则m＞－n＞0，

F(m)+F(n)＝f(m)－f(n)＝am²+4－(an²+4)

＝a(m²－n²)，

当a＞0时，F(m)+F(n)能大于0，

当a＜0时，F(m)+F(n)不能大于0.

18．(本小题满分12分)(2010·吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元．

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？

解：(1)依题意得：y＝(200+0.02v²)×

＝166(0.02v+)(60≤v≤120)．

(2)y＝166(0.02v+)≥166×2

＝664(元)

当且仅当0.02v＝即v＝100千米/时时取等号．

答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元．

17．(本小题满分12分)若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1＝(n＝1,2，…)

(1)求证：a_n+1≠a_n；

(2)令a₁＝，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n.

解：(1)证明：(采用反证法)．若a_n+1＝a_n，

即＝a_n，解得a_n＝0,1.

从而a_n＝a_n－1＝…＝a₂＝a₁＝0,1，与题设a₁＞0，a₁≠1相矛盾，

故a_n+1≠a_n成立．

(2)a₁＝、a₂＝、a₃＝、a₄＝、a₅＝，a_n＝，

n∈N^*.

16．(本小题满分12分)已知f(x)＝－3x²+a(6－a)x+b.

(1)解关于a的不等式f(1)＞0；

(2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值．

解：(1)f(1)＝－3+a(6－a)+b＝－a²+6a+b－3，

∵f(1)＞0，∴a²－6a+3－b＜0.

Δ＝24+4b，当Δ≤0

即b≤－6时，f(1)＞0的解集为∅；

当b＞－6时，3－＜a＜3+，

∴f(1)＞0的解集为{a|3－＜a＜3+}．

(2)∵不等式－3x²+a(6－a)x+b＞0的解集为(－1,3)，

∴解之，得

15．已知点P(a，b)与点Q(1,0)在直线2x－3y+1＝0的两侧，则下列说法正确的是________．

①2a－3b+1＞0；

②a≠0时，有最小值，无最大值；

③∃M∈R⁺，使＞M恒成立；

④当a＞0且a≠1，b＞0时，则的取值范围为

(－∞，－)∪(，+∞)．

解析：由已知(2a－3b+1)(2－0+1)＜0，

即2a－3b+1＜0，∴①错；

当a＞0时，由3b ＞2a+1，

可得＞+，

∴不存在最小值，∴②错；

表示为(a，b)与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得：

＞＝恒成立，

∴③正确；

表示为(a，b)和(1,0)两点的斜率．

由线性规划知识可知④正确．

答案：③④

14．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．

解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，

则

目标函数为z＝200x+300y.

作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x+300y有最小值2300元．

答案：2300

13．关于x的不等式ax²+4x－1≥－2x²－a恒成立，那么实数a的取值范围是________．

解析：不等式ax²+4x－1≥－2x²－a

可化为(a+2)x²+4x+a－1≥0，

当a+2＝0，即a＝－2时，不恒成立，不合题意．

当a+2≠0时，要使不等式恒成立，

需解得a≥2.

所以a的取值范围为[2，+∞)．

答案：[2，+∞)

12．关于x的不等式x²+(a+1)x+ab＞0的解集是{x|x＜－1或x＞4}，则实数a、b的值分别为________．

解析：由不等式的解集为{x|x＜－1或x＞4}可得，－1,4是方程x²+(a+1)x+ab＝0的两根，

∴，解得a＝－4，b＝1.

答案：－4,1

11．不等式组，所表示的平面区域的面积等于________．

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由

得交点A的坐标为(1,1)．又B、C两点的坐标为(0,4)，

(0，)．故S_△ABC＝(4－)×1＝.

答案：