17.(本小题满分12分)已知|a|＝1，|b|＝，

(1)若a与b的夹角为，求|a+b|；

(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角.

解：(1)|a+b|²＝|a|²+2a·b+|b|²

＝1+2×1××cos+2

＝3+.

∴|a+b|＝.

(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0.

∴|a|²－a·b＝0，∴a·b＝|a|².

设a与b的夹角为θ.

∴cosθ＝＝＝＝.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

所以向量a与b的夹角为.

16.(本小题满分12分)设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，

(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；

(2)求c在a方向上的投影.

解：(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，

∴a与b不共线.

又a·b＝－1×4+1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

(2)∵a·c＝－1×5+1×(－2)＝－7，

∴c在a方向上的投影为＝＝－.

15.(2009·四川高考)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f(a).若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b)，则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f(a+b)＝f(a)+f(b)；

②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)＝a+e，则f是平面M上的线性变换；

③对a∈V，设f(a)＝－a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f(ka)＝kf(a).

其中的真命题是　　(写出所有真命题的编号).

解析：①当λ＝μ＝1时，f(a+b)＝f(a)+f(b)成立.

②∵f(a)＝a+e，∴f(λa+μb)＝λa+μb+e.

λf(a)+μf(b)＝λ(a+e)+μ(b+e)＝λa+μb+(λ+μ)e.

f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b).

∴f不是平面M上的线性变换.

③∵f(a)＝－a，∴f(λa+μb)＝－λa－μb，

λf(a)＝－λa，μf(b)＝－μb.

∴f(λa+μb)＝λf(a)+μf(b).

∴f是平面M上的线性变换.

④∵f是M上的线性变换，∴当λ＝k，μ＝0时，有f(λa+μb)＝f(ka)＝kf(a)+0f(b)＝kf(a).

答案：①③④

14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n (m、n∈R)，则＝________.

解析：如图所示，建立直角坐标系．

则＝(1,0)，＝(0，)，

∴＝m+n＝(m，n)，

∴tan30°＝＝，∴＝3.

答案：3

13.已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a+b，且c⊥a，则＝　　.

解析：由题意知a·b＝|a||b|cos120°＝－|a||b|.

又∵c⊥a，∴(a+b)·a＝0，

∴a²+a·b＝0，

即|a|²＝－a·b＝|a||b|，∴＝.

答案：

12.已知复数z₁＝4+2i，z₂＝k+i，且z₁·₂是实数，则实数k＝　　.

解析：₂＝k－i，

z₁·₂＝(4+2i)(k－i)＝(4k+2)+(2k－4)i，

又z₁·₂是实数，则2k－4＝0，即k＝2.

答案：2

11.已知复数－i的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，则实数a＝　　.

解析：已知复数－i＝－1－(a+1)i，

由题意知a+1＝－1，解得a＝－2.

答案：－2

10.在△ABC中，若则△ABC是　 (　)

A.锐角三角形　 　　　　　B.直角三角形

C.钝角三角形　 　　　　　D.等边三角形

∴∴ABC为直角三角形.

答案：B

第Ⅱ卷　(非选择题，共100分)

9.在△ABC中，若对任意t∈R，恒有|－t|≥| |，则　　　　　　　　　　 (　)

A.∠A＝90°　 　　B.∠B＝90°

C.∠C＝90° 　　D.∠A＝∠B＝∠C＝60°

解析：如图，设t

∴∴

由于上式恒成立，∴

∴

　 答案：C

8.(2010·黄冈模拟)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(1+sinA,1+cosA)，q＝(1+sinB，－1－cosB)，则p与q的夹角是　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.锐角 　　　　　　B.钝角　　　　　 C.直角　 　　　　　　D.不确定

解析：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0，

故有p·q＝(1+sinA)(1+sinB)－(1+cosA)(1+cosB)＞0，同时易知p与q方向不相同，故p与q的夹角是锐角.

答案：A