6.下列特称命题中，假命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.∃x∈R，x²－2x－3＝0　　　　　　　 　B.至少有一个x∈Z，x能被2和3整除

C.存在两个相交平面垂直于同一直线　　　 D.∃x∈{x|x是无理数}，使x²是有理数

解析：对于A：当x＝－1时，x²－2x－3＝0，故A为真命题；

对于B：当x＝6时，符合题目要求，为真命题；

对于C假命题；

对于D：x＝时，x²＝3，故D为真命题.

综上可知：应选C.

答案：C

5.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　　　　　　 (　)

A.充分而不必要条件　 　　　　　　　　B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 　　　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

解析：当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之，当a+b>0且ab>0时，一定有a>0，b>0.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.

答案：C

4.已知命题p：x∈A∪B，则　 p是　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A.x∉A∩B　 　　　　B.x∉A或x∉B　　　 C.x∉A且x∉B　 　　　　D.x∈A∩B

解析：由x∈A∪B知x∈A或x∈B.

答案：C

3.(2010·东北师大附中模拟)设全集U是实数集R，M＝{x|x²＞　　　　

4}，N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所　　 　　　　　

表示的集合是　　　　　　　　　　　　　 　　　　(　)

A.{x|－2≤x＜1}　 　　　　　　　B.{x|－2≤x≤2}

C.{x|1＜x≤2}　 　　　　　　　　D.{x|x＜2}

解析：图中阴影部分表示N∩(∁_UM)，∵M＝{|x²>4}＝{x|x>2或x<－2}，

∴∁_UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁_UM)＝{－2≤x＜1}.

答案：A

2.集合P＝{m²|m∈N^*}，若a，b∈P，则a⊗b∈P，那么运算⊗可能是　　　　　　 (　)

A.加法　　　 　B.减法　　　 　　　　C.乘法　 　　　　　　　D.除法

解析：特例：a＝1，b＝4.

答案：C

1.已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁_NB)＝　　　　　　　　　　 (　)

A.{1,5,7}　　B.{3,5,7}　　　　 C.{1,3,9} 　　　　　D.{1,2,3}

解析：∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，

∴∁_NB＝{1,2,4,5,7,8，……}.

∴A∩(∁_NB)＝{1,5,7}.

答案：A

21.(本小题满分14分)已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，AB与BC的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值.

解：(1)由题意知：

·＝| || |cosθ＝6，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

S＝| || |sin(π－θ)

＝| || |sinθ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.

由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.

又θ为与的夹角，

∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，].

(2)f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ

＝1+sin2θ+2cos²θ

＝2+sin2θ+cos2θ

＝2+sin(2θ+).

∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，].

∴当2θ+＝，θ＝时，f(θ)取最小值3.

20.(本小题满分13分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，

　(1)求D点坐标；

(2)若D点在第二象限，用，表；

(3)＝(m,2)，若3+与垂直，求坐标.

解：(1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x+1，y).

由题得

∴

∴D点坐标为(－2,3)或(2,1).

(2)∵D点在第二象限，∴D(－2,3).

∴＝(－1,3).∵＝(－2,1)，

设＝m+n，

则(－2,1)＝m(1,2)+n(－1,3)，

∴∴

∴＝－+.

(3)∵3+＝3(1,2)+(－2,1)＝(1,7)，

＝(m,2)，

∴(3+)·＝0.

∴m+14＝0.∴m＝－14.

∴＝(－14,2).

19.(本小题满分12分)已知复数z₁＝cosα+isinα，z₂＝cosβ+isinβ，|z₁－z₂|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

解：(1)∵z₁－z₂＝(cosα－cosβ)+i(sinα－sinβ)，

|z₁－z₂|＝，

∴＝，

∴cos(α－β)＝＝.

(2)∵－＜β＜0＜α＜，

∴0＜α－β＜π.由(1)得cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝.又sinβ＝－，∴cosβ＝.

∴sinα＝sin[(α－β)+β]

＝sin(α－β)cosβ+cos(α－β)sinβ

＝×+×(－)＝.

18.(本小题满分12分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积.

解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，

即a·＝b·，

其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.

∴△ABC为等腰三角形.

(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)+b(a－2)＝0.

∴a+b＝ab.

由余弦定理可知，4＝a²+b²－ab＝(a+b)²－3ab，

即(ab)²－3ab－4＝0.

∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

∴S＝absinC＝×4×sin＝.