11.各项都是正数的等比数列{an}中,a2,a3,a1成等差数列,则=________.
解析:设{an}的公比为q(q>0),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得
q=.从而=q=.
答案:
10.已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}前n项和的最大值等于 ( )
A.126 B.130 C.132 D.134
解析:由题意可知,lga3=b3,lga6=b6.
又∵b3=18,b6=12,则a1q2=1018,a1q5=1012,
∴q3=10.
即q=10,∴a1=1022.
又∵{an}为正项等比数列,
∴{bn}为等差数列,且d=-2,b1=22.
故bn=22+(n-1)×(-2)=-2n+24.
∴Sn=22n+×(-2)
=-n2+23n=-(n-)2+.
又∵n∈N*,故n=11或12时,
(Sn)max=132.
答案:C
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
9.数列{an}满足:a1=1,且对任意的m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则+++…+= ( )
A. B. C. D.
解析:因为an+m=an+am+mn,则可得a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,则可猜得数列的通项an=,
∴==2(-),
∴+++…+=
2(1-+-+…+-)=2(1-)=
答案:D
8.在函数y=f(x)的图象上有点列{xn,yn},若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比数列,则函数y=f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x2 C.f(x)=log3x D.f(x)=()x
解析:结合选项,对于函数f(x)=()x上的点列{xn,yn},有yn=()xn.由于{xn}是等差数列,所以xn+1-xn=d,因此==()xn+1=()d,这是一个与n无关的常数,故{yn}是等比数列.
答案:D
7.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,那么S100的值等于 ( )
A.2500 B.2600 C.2700 D.2800
解析:据已知当n为奇数时,
an+2-an=0⇒an=1,
当n为偶数时,an+2-an=2⇒an=n,
答案:B
6.定义:在数列{an}中,an>0且an≠1,若为定值,则称数列{an}为“等幂数列”.已知数列{an}为“等幂数列”,且a1=2,a2=4,Sn为数列{an}的前n项和,则S2009=
( )
A.6026 B .6024 C.2 D.4
解析:=24=16==4a3,
得a3=2,同理得a4=4,a5=2,…,
这是一个周期数列.
∴S2009=×(2+4)+2=6026.
答案:A
5.记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n(n-1),则该数列是 ( )
A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列
C.公差为2的等差数列 D.公差为4的等差数列
解析:由条件可得n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n(n-1)-2(n-1)(n-2)=4(n-1),当n=1时,a1=S1=0,代入适合,故an=4(n-1),故数列{an}表示公差为4的等差数列.
答案:D
4.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-·a8的值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
解析:由已知得:(a2+a10)+(a4+a8)+a6=5a6=80⇒a6=16,又分别设等差数列首项为a1,公差为d,则a7-a8=a1+6d-(a1+7d)=(a1+5d)=a6=8.
答案:C
3.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为( )
A.4 B. C.-4 D.-
解析:∵{an}是等差数列,
∴S5=5a3=55,∴a3=11.
∴a4-a3=15-11=4,
∴kPQ===4.
答案:A
2.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{}的前11项和为
( )
A.-45 B.-50 C.-55 D.-66
解析:Sn=,∴==-n,
∴{}的前11项的和为-66.
答案:D
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