20.已知A、B、D三点不在一条直线上,且A(-2,0),B(2,0),||=2,=(+).
(1)求E点的轨迹方程;
(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M,N两点,线段MN的中点到y轴的距离为,且直线MN与E点的轨迹相切,求椭圆的方程.
解:(1)设E(x,y),由=(+),可知E为线段BD的中点,
又因为坐标原点O为线段AB的中点,
所以OE是△ABD的中位线,
所以||=||=1,
所以E点在以O为圆心,1为半径的圆上,
又因为A,B,D三点不在一条直线上,
所以E点不能在x轴上,
所以E点的轨迹方程是x2+y2=1(y≠0).
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),中点为(x0,y0),椭圆的方程为+=1,直线MN的方程为y=k(x+2)(当直线斜率不存在时不成立),
由于直线MN与圆x2+y2=1(y≠0)相切,
所以=1,解得k=±,
所以直线MN的方程为y=±(x+2),
将直线y=±(x+2)代入方程+=1,
整理可得:4(a2-3)x2+4a2x+16a2-3a4=0,
所以x0==-.
又线段MN的中点到y轴的距离为,
即x0=-=-,解得a=2.
故所求的椭圆方程为+=1.
19.给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,记O为坐标原点.
(1)求·的值;
(2)设=λ,当△OAB的面积S∈[2, ]时,求λ的取值范围.
解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,
将其与C的方程联立,消去x可得y2-4my-4=0.
设A,B点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>0>y2),
则y1y2=-4.
因为y=4x1,y=4x2,
所以x1x2=yy=1,
故·=x1x2+y1y2=-3.
(2)因为=λ,
所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),
即
又y=4x1, ③
y=4x2, ④
由②③④消去y1,y2后,得到x1=λ2x2,将其代入①,注意到λ>0,解得x2=.从而可得y2=-,y1=2,
故△OAB的面积S=|OF|·|y1-y2|=+,
因+≥2恒成立,所以只要解+≤即可,
解之得≤λ≤.
18. (2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:AQ⊥BQ.
解:(1)依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=-2为准线的抛物线.
因为抛物线焦点到准线距离等于4,
所以圆心的轨迹是x2=8y.
(2)证明:因为直线AB与x轴不垂直,
设AB:y=kx+2.
A(x1,y1),B(x2,y2).
由
可得x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16.
抛物线方程为y=x2,求导得y′=x.
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=x1,k2=x2,k1k2=x1·x2=x1·x2=-1.
所以AQ⊥BQ.
17.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),
连结PM,
∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.
而|PM|=,
|AB|=,
∴2.
化简,得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程.
16.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2时,求直线l的方程.
解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.
(1)若直线l与圆C相切,则有=2.
解得a=-.
(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
得
解得a=-7,或a=-1.
故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.
15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为______________.
解析:设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,
∴∠ABC=30°,||=2p,
·=4p·2p·cos30°=48,
解得p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x.
答案:y2=4x
14.直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2-4y2=3的焦点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为______________.
解析:所求椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小,只需在直线l上找一点P,使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解.
答案:+=1
13.(2009·福建高考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=________.
解析:由焦点弦|AB|=得|AB|=,
∴2p=|AB|×,∴p=2.
答案:2
12.已知点(x0,y0)在直线ax+by=0(a,b为常数)上,则的最小值为________.
解析:可看作点(x0,y0)与点(a,b)的距离.而点(x0,y0)在直线ax+by=0上,所以的最小值为点(a,b)到直线ax+by=0的距离=.
答案:
11.若双曲线-y2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________.
解析:由a2+1=4,∴a=,
∴e==.
答案:
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