6．若不等式|x+|>|a－2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是 (　)

A．(1,3)　 　　　　　B．(2,4)　　　　　　　 C．(5,6)　 　　　　D．(－2,4)

解析：∵|x+|>2，∴|a－2|+1<2，即|a－2|<1，解得1<a<3.

答案：A

5．已知不等式|2x－t|+t－1<0的解集为(－，)，则t＝　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．－1　 　　　　　　B．0　　　　　 C．1 　　　　　D．2

解析：　|2x－t|<1－t，t－1<2x－t<1－t，

2t－1<2x<1，t－<x<，∴t＝0.

答案：B

4．不等式≥1的实数解为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．{x|x≤－}　 　　　　　　　　　B．{x|x≥－}

C．{x|x≤－且x≠－2} 　　　　　D．{x|x<－}

　解析：||≥1

⇔

⇔⇔

∴原不等式的解集为{x|x≤－且x≠－2}．

答案：C

3．已知关于x的不等式|x+a|+|x－1|+a<2 009(a是常数)的解是非空集合，则a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(　)

A．(－∞，2 009) 　　　　　B．(－∞，1 004)

C．(2 009，+∞)　 　　　　　D．(2 008，+∞)

解析：∵|x+a|+|x－1|的最小值为|a+1|，由题意|a+1|<2 009－a，解得a<1 004.

答案：B

2．不等式|x|+|x－1|<2的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．(－∞，－)∪(，+∞) 　　　　　　　B．(－∞，－]

C．(－，)　 　　　　　　　　　　　　　D．[，+∞)

解析：利用绝对值的几何意义来解决．令|x|+|x－1|＝2得x＝－或，结合数轴得x∈(－，)．

答案：C

1．对任意x∈R，|2－x|+|3+x|≥a²－4a恒成立，则a满足的范围是　　　 (　)

A．[－1,5]　　　　 B．(－1,5]

C．(－∞，5] 　　　　　　　D．(－1，+∞)

解析：　因为|2－x|+|3+x|≥5，要使|2－x|+|3+x|≥a²－4a恒成立，即5≥a²－4a，解得－1≤a≤5.

答案：A

21.已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，AB与BC的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值.

解：(1)由题意知：

·＝| || |cosθ＝6，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

S＝| || |sin(π－θ)

＝| || |sinθ，　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.

由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.

又θ为与的夹角，

∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，].

(2)f(θ)＝sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ

＝1+sin2θ+2cos²θ

＝2+sin2θ+cos2θ

＝2+sin(2θ+).

∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，].

∴当2θ+＝，θ＝时，f(θ)取最小值3.

20.已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，

　(1)求D点坐标；

(2)若D点在第二象限，用，表；

(3)＝(m,2)，若3+与垂直，求坐标.

解：(1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x+1，y).

由题得

∴

∴D点坐标为(－2,3)或(2,1).

(2)∵D点在第二象限，∴D(－2,3).

∴＝(－1,3).∵＝(－2,1)，

设＝m+n，

则(－2,1)＝m(1,2)+n(－1,3)，

∴∴

∴＝－+.

(3)∵3+＝3(1,2)+(－2,1)＝(1,7)，

＝(m,2)，

∴(3+)·＝0.

∴m+14＝0.∴m＝－14.

∴＝(－14,2).

19.已知复数z₁＝cosα+isinα，z₂＝cosβ+isinβ，|z₁－z₂|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

解：(1)∵z₁－z₂＝(cosα－cosβ)+i(sinα－sinβ)，

|z₁－z₂|＝，

∴＝，

∴cos(α－β)＝＝.

(2)∵－＜β＜0＜α＜，

∴0＜α－β＜π.由(1)得cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝.又sinβ＝－，∴cosβ＝.

∴sinα＝sin[(α－β)+β]

＝sin(α－β)cosβ+cos(α－β)sinβ

＝×+×(－)＝.

18.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积.

解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，

即a·＝b·，

其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.

∴△ABC为等腰三角形.

(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)+b(a－2)＝0.

∴a+b＝ab.

由余弦定理可知，4＝a²+b²－ab＝(a+b)²－3ab，

即(ab)²－3ab－4＝0.

∴ab＝4(舍去ab＝－1)，

∴S＝absinC＝×4×sin＝.