8．(2009·江苏南京调研)已知a，b为正数，求证：+≥.

证明：∵a>0，b>0，∴(a+b)(+)＝5++≥5+2＝9，

∴+≥.

7．已知：a+b+c＝0，求证ab+bc+ca≤0.

证明：法一：(综合法)

∵a+b+c＝0，∴(a+b+c)²＝0，展开，

得ab+bc+ca＝－.

∴ab+bc+ca≤0.

法二：(分析法)

要证ab+bc+ca≤0，∵a+b+c＝0，

故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)²，

即证a²+b²+c²+ab+bc+ca≥0，

即[(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²]≥0，

∴显然原式成立．

法三：∵a+b+c＝0，∴－c＝a+b，

∴ab+bc+ca＝ab+(a+b)c＝ab－(a+b)²

＝－a²－b²－ab＝－[(a+)²+]≤0.

6．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z所满足的关系式为________，x²+y²+z²的最小值是________．

解析：由面积关系可得

(2x+2y+2z)

＝×2×3⇒x+y+z＝3；

又2(x²+y²)≥x²+2xy+y²，

2(y²+z²)≥y²+2yz+z²，

2(z²+x²)≥z²+2zx+x²，

三式相加得3(x²+y²+z²)≥(x+y+z)²，

即x²+y²+z²≥(x+y+z)²＝×3²＝3.

答案：x+y+z＝3　3

5．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是________．

①|a－b|≤|a－c|+|b－c|；

②a²+≥a+；

③|a－b|+≥2；

④－<－.

解析：对于①，因为|a－b|＝|(a－c)+(c－b)|≤|a－c|+|b－c|，

所以|a－b|≤|a－c|+|b－c|恒成立；

对于②，因为a²+－(a+)

＝(a+)²－(a+)－2

＝(a++1)(a+－2)，

易知a+≥2，故a²+－(a+)≥0，

所以a²+≥a+恒成立；

对于③，当a＞b时，有|a－b|+≥2成立；

当a≤b时，|a－b|+≥2不成立．

对于④，可以证明不等式

－<－也恒成立．

答案：③

4．设a＞b＞c且+≥恒成立，则m的取值范围为________．

解析：由a＞b＞c，知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.

因此，原不等式等价于m≤+，

又+＝+

＝2++

≥2+2 ＝4，

当且仅当＝时，等号成立．

∴m≤4，即m∈(－∞，4]．

答案：(－∞，4]

3．若a>0，b>0，则(a+b)(+)的最小值为　　　　　　　　　　　　 (　)

A．1 　　　　　　　　B．2　　　　　　　　 C．3　　　　 　D．4

解析：　(a+b)(+)

＝1+++1＝2+(+)

≥2+2 ＝4.

答案：D

2．已知a∈R，b∈R，且a≠b，下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．a²+3ab>2b² 　　　　　　　　　　　B．a⁵+b⁵>a³b²+a²b³

C．a²+b²≥2(a－b－1) 　　　　　　　　D.+>2

解析：　对于A、D举反例，如a＝0，b＝1时A不成立；a＝－1，b＝1时D不成立，故A、D不恒成立；

对于B，利用作差法：a⁵+b⁵－a³b²－a²b³

＝a³(a²－b²)－b³(a²－b²)

＝(a²－b²)(a³－b³)

＝(a－b)²(a+b)(a²+ab+b²)．

(a－b)²>0，a²+ab+b²>0，而a+b的符号是不确定的，故差值符号不能确定，因此B不恒成立；

对于C，a²+b²－2a+2b+2

＝(a－1)²+(b+1)²≥0，

故a²+b²≥2(a－b－1)，C恒成立．

综合以上分析，只有C恒成立．

答案：C

1．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a，+∞)上恒成立，则实数a的最小值为(　)

A.　　　　B．1　　　　　　　 C. 　　　　　　　　D．2

　解析：2x+＝2(x－a)++2a≥2 +2a＝2a+4≥7，

∴a≥.

答案：C

8．设函数f(x)＝|2x－1|+x+3，则函数y＝f(x)的最小值为________．

解析：f(x)＝由图象可知，f(x)_min＝.

7．不等式2x＞|x－1|的解集为________．

解析：|x－1|＜2x⇔－2x＜x－1＜2x⇔⇔x＞.

答案：(，+∞)