4．已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0,0≤θ＜)，则曲线C₁ 与C₂交点的极坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(　)

A．(2，)　 　　　B．(2，)　　　　 C．(2，) 　　　　　D．(2，)

解析：∵

∴4cos²θ＝3.∴2(1+cos2θ)＝3.

∴cos2θ＝.

∵0≤2θ<π，∴θ＝，代入①得ρ＝2.

∴C₁与C₂交点的极坐标为(2，)．

答案：C

3．极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于点A、B，则|AB|＝　　　　　 (　)

A．4 　　　　　　B．5　　　　　　 C．2　 　　　　D．2

解析：平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1分别表示圆x²+(y+2)²＝4和直　　 线x＝1，作图易知|AB|＝2.

答案：D

2．在极坐标系中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点M(4，)作曲线C的切线，则切线长为(　)

A．2　　　　　 　B．3　　　　　　 C．2　 　　　　　　D．2

解析：∵ρ＝4sinθ化为普通方程为x²+(y－2)²＝4.

而点M(4，)化为直角坐标为M(2，2)，

∴由勾股定理，得切线长为

＝2.

即切线长为2.

答案：C　

1．经过点P(2，)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是　　　　　　　　　　　 (　)

A．ρ＝cosθ＝　　　B．ρsinθ＝π

C．ρcosθ＝ 　　　　　　D．ρsinθ＝

解析：根据题意，所求直线为：在直角坐标系下，过点(，)，垂直于x轴的直　

线，方程为x＝.由极坐标与直角坐标系互化公式可知x＝ρcosθ，∴ρcosθ＝.

答案：A　

12．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为(t为参数，θ为直线l的倾斜角)，圆C的极坐标方程为ρ²－8ρcosθ+12＝0.

(1)若直线l与圆C相切，求θ的值；

(2)若直线l与圆C有公共点，求θ的取值范围．

解：因为直线l的直角坐标方程为y=xtanθ或x=0，圆C的直角坐标方程为(x-4)²+y²=4.

由图形可知：

(1)当直线l与圆C相切时，θ=或θ=；

(2)当直线l与圆C有公共点时，θ∈[0，]∪[，π)．

11．已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin(θ+)(θ为参数)．

(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)判断直线l和圆C的位置关系．

解：(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x+1；

ρ＝2sin(θ+)即ρ＝2(sinθ+cosθ)，

两边同乘以ρ得ρ²＝2(ρsinθ+ρcosθ)，

消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：

(x－1)²+(y－1)²＝2.

(2)圆心C到直线l的距离

d＝＝＜，

所以直线l和⊙C相交．

10．(2009·南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．

解：曲线的普通方程为x²－y²＝4.

过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y＝x+，

联立方程组消去y得，

x²－2x－7＝0，

∴x₁x₂＝－.x₁+x₂＝3，

∴AB＝|x₁－x₂|

＝

＝2

9．已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，点P(x，y)为椭圆+＝1上的一点，则x²+xy+y²的最大值为________．

解析：依题意得，解得a＝2，b＝4，得椭圆方程为+＝1，

设P(cosθ，2sinθ)(θ为参数)，则有

x²+xy+y²＝(cosθ)²+×cosθ×2sinθ+4sin²θ

＝2+2sin²θ+sin2θ＝3+sin2θ－cos2θ

＝3+sin(2θ－)≤3+，

故最大值为3+.

答案：3+

8．已知动圆方程x²+y²－xsin2θ+2ysin(θ+)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是___________．

解析：圆心轨迹的参数方程为：

即

消去参数θ得y²＝1+2x(－≤x≤)．

答案：y²＝1+2x　x∈[－，]

7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，则圆C的圆心坐标为________，圆心到直线l的距离为________．

解析：直线和圆的方程分别是：x+y－6＝0，x²+(y－2)²＝2²，所以圆心坐标为(0,2)，其到直线距离为d＝＝2.

答案：(0,2)　2