2.平面上有n条直线，其中无两条平行，无三条共点，

问：(1)这n条直线共有几个交点f(n)？(

(2)这n条直线互相分割成多少条线段(或射线)？(条)

(3)平面被这n条直线分割成多少块区域？()

1.对一切自然数n，猜出使成立的最小自然数t

2.首项为a₁，公比为q的等比数列的通项公式是：a_n=a₁q^n－1.

证明：(1)n=1时，左边=a₁，右边=a₁·q^1－1=a₁q⁰=a₁.

∴左边=右边.

(2)假设当n=k时等式成立.即a_k =a₁q^k－1.那么当n=k+1时.

a_k+1=a_kq=a₁q^k－1·q=a₁q^(k+1)－1

∴n=k+1时等式也成立.

由(1)、(2)可知等式对一切n∈N^*都成立

1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=.

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边==1.

∴等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=.

那么当n=k+1时，

1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+1)=(k+1)(k+1+1)

∴n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.

例1．用数学归纳法证明：如果{a_n}是一个等差数列，那么a_n=a₁+(n－1)d对一切n∈N^*都成立.

证明：(1)当n=1时，左边=a₁，右边=a₁+0·d=a₁，等式是成立的

(2)假设当n=k时等式成立，就是a_k=a₁+(k－1)d.

那么a_k+1=a_k+d=［a₁+(k－1)d］+d=a₁+［(k+1)－1］d，

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.

由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N^*都成立.

例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n².

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k²，

那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k²+［2(k+1)－1］=k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1时也成立.

由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立

6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n₀结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.

由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确　

5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n₀，如果当n=n₀时，命题成立，再假设当n=k(k≥n₀，k∈N^*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n₀的正整数n₀+1，n₀+2，…，命题都成立.

4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n₀时命题成立；然后假设当n=k(kÎN*，k≥n₀)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.

2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.

如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.

我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.