4、正交分解和等效替代

[例7]如图2－24(a)所示，A、B质量分别为m_A和m_B，叠放在倾角为θ的斜面上以相同的速度匀速下滑，则(　　　 )

　 (A)AB间无摩擦力作用　　　 (B)B受到的滑动摩擦力大小为(m_A+m_B)gsinθ

　 (C)B受到的静摩擦力大小为m_Agsinθ　 (D)取下A物体后，B物体仍能匀速下滑

解析：隔离A、B，A受力和坐标轴如图(b)所示，由平衡条件得：

　　　 m_Agsinθ－f_A=0…………①　　　 N_A一m_Agcosθ＝0…………②

　　 B受力和坐标轴如图(C)所示，由平衡条件得：

　　　 m_Bgsinθ+f_A^/－f_B=0……………③　　　 N_B一m_Bgcosθ-N_A^/=0…………④

A、　　 B相对静止，f_A为静摩擦力，B在斜面上滑动，f_B为滑动摩擦力

　 f_B＝μN_B…………⑤　　　 联立①式-⑤式得：

　　　 f_A=m_Agsinθ，f_B=(m_A十m_B)gsinθ，μ=tgθ

　　 取下A后，B受到的滑动磨擦力为f_B＝μm_Bgcosθ=m_Bgsinθ，

　　 B所受摩擦力仍等于重力沿斜面的下滑分力，所以B仍能作匀速直线运动·

　　 综上所述，本题应选择(B)、(C)、(D)。

[例8]某压榨机的结构示意图如图,其中B为固定铰链,若在A处作用于壁的力F,则由于力F的作用，使滑块C压紧物块D，设C与D光滑接触，杆的重力不计，求物体D受到的压力大小是F的几倍？(滑块重力不计)

解析：力F的作用效果是对AC、AB杆产生沿两杆的方向的力F₁、F₂，力F₁产生对C的向左的力和向下的压力。由图可知tanα=100/10=10，F₁=F₂=F/2cosα，N=F₁sinα=Fsinα/2cosα=5F。

试题展示

　　　　　　 物体的受力分析(隔离法与整体法)

基础知识一、物体受力分析方法

把指定的研究对象在特定的物理情景中所受到的所有外力找出来，并画出受力图，就是受力分析。对物体进行正确地受力分析，是解决好力学问题的关键。

3、用三角形法则分析力的动态变化

[例5]如图所示，将一个重物用两根等长的细绳OA、OB悬挂在半圆形的架子上，在保持重物位置不动的前提下，B点固定不动，悬点A由位置C向位置D移动，直至水平，在这个过程中，两绳的拉力如何变化？

解析：根据力的作用效果，把F分解，其实质是合力的大小方向都不变，一个分力的方向不变，另一个分力的大小方向都在变化，由图中不不看出：OB绳子中的拉力不断增大，而OA绳中的拉力先减小后增大，当OA与OB垂直时，该力最小。

[例6]如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？

　　 解析：虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论．

　　 以球为研究对象，球所受重力对也产生的效果有两个：对斜面产生了压力N₁，对挡板产生了压力N₂．根据重力产生的效果将重力分解，如图所示．

当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时．N₁大小改变．但方向不变．始终与斜面垂直：N₂的大小、方向均改变(图1一25中画出的一系列虚线表示变化的N₂)．由图可看出．当N₂与N₁垂直即β＝90⁰时，挡板AO所受压力最小，最小压力N_2min=mgsinα．

也可用解析法进行分析，根据正弦定理有N₂/sinα=mg/sinβ，所以N₂=mgsinα/sinβ。而其中mgsinα是定值，N₂随β的变化而变化

当β<90⁰时，β↑→sinβ↑→N₂↓；当β>90⁰时，β↑→sinβ↓→N₂↑；当β=90⁰时，N₂有最小值N_2min=mgsinα；

说明：(1)力的分解不是随意的，要根据力的实际作用效果确定力的分解方向．

(2)利用图解法来定性地分析一些动态变化问题，简单直观有效，是经常使用的方法，要熟练掌握．

物体受到多个力作用时求其合力，可将各个力沿两个相互垂直的方向直行正交分解，然后再分别沿这两个方向求出合力，正交分解法是处理多个力作用用问题的基本方法，步骤为：

①正确选择直角坐标系，一般选共点力的作用点为原点，水平方向或物体运动的加速度方向为X轴，使尽量多的力在坐标轴上。

②正交分解各力，即分别将各力投影在坐标轴上，分别求出坐标轴上各力投影的合力。

Fx=F1x+F2x+…+Fnx　　　　　 Fy=F1y+F2y+…+Fny

③共点力合力的大小为F=，合力方向与X轴夹角

规律方法1、基本规律与方法的应用

[例1]两个力的合力与这两个力的关系，下列说法中正确的是：( CD )

A、　 合力比这两个力都大

B、　 合力至少比两个力中较小的力大

C、　 合力可能比这两个力都小

D、　 合力可能比这两个力都大

解析：(1)公式法：由合力公式F=得

①　　　 当θ=0⁰时，F=F₁+F₂；②当θ=180⁰时，F=|F₁－F₂|；③当θ=90⁰时，F=；④当θ=120⁰且F₁=F₂时，F=F₁=F₂

可见合力可能比任何一个分力都大，也可能比任何一个分力都小，也可能等于每一个分力

(2)图象法：由三角形定则知，合力与分力的关系实际上是三角形的一个边与其它两个边的关系。由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，同时考虑到两个分力同向或反向的情况，合力的取值范围为| F₁－F₂|≤F≤(F₁+F₂)，故答案为CD

[例2]施用一动滑轮将一物体提起来，不计滑轮与绳的质量及其间的摩擦力，则(BCD)

　　 A．总可以省力一半；　　　　　　 B．最大省力一半；

　　 C．拉力可能大于被提物体的重量；　 D．拉力可能等于被提物体的重量；　　　　　　　　　　

　　 解析：如图1－21所示，当拉力沿竖直方向时．省力一半，当沿2的方向上提时拉力肯定大于物体重力一半．所以A错B对，当两绳间夹角等于120⁰时拉力等于物体重量，所以D对，当夹角大于120⁰时，拉力大于物体重量，所以c对．

说明：力是矢量，它的加减不是简单的代数加减；不共线的两个共点力与它们的合力构成三角形，利用正、余弦定理，三角形几何知识来分析相关问题，直观简捷！

[例3] A的质量是m，A、B始终相对静止，共同沿水平面向右运动。当a₁=0时和a₂=0.75g时，B对A的作用力F_B各多大？　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

解：一定要审清题：B对A的作用力F_B是B对A的支持力和摩擦力的合力。而A所受重力G=mg和F_B的合力是F=ma。

　　 当a₁=0时，G与 F_B二力平衡，所以F_B大小为mg，方向竖直向上。

　　 当a₂=0.75g时，用平行四边形定则作图：先画出重力(包括大小和方向)，再画出A所受合力F的大小和方向，再根据平行四边形定则画出F_B。由已知可得F_B的大小F_B=1.25mg，方向与竖直方向成37^o角斜向右上方。

2、 用图象法求合力与分力

[例4]设有五个力同时作用在质点P，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，如图所示，这五个力中的最小力的大小为F，则这五个力的合力等于(　)

　A、3F　 B、4F　 C、5F　 D、6F

解析：由正六边形的特点可知，当最小的力为F时，最大的力为2F，不难推出F₁与F₄合力大小为F₃，即2F，方向也与F₃相同，F₂与F₅的合力大小为F₃，即2F，方向也与F₃相同，故最后合力为6F。用力的三角形法则也可得出同样的结论。

2、　 按问题的需要进行分解

具体问题的条件有：

①已确定两个分力的大小，可求得分力的方向。

②已确定两个分力的方向，可求得分力的大小。

③已确定一个分力的大小和方向，可求得另上个分力的大小和方向。

④已确定一个分力的大小和另一个分力的方向，可求得一个分力的大小和另一个分力的方向。

力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形法则，两个分力的合力是唯一确定的，而一个已知力可以分解为大小、方向不同的分力，即一个力的两个分力不是唯一的，要确定一个力的两个分力，应根据具体条件进行。

1、　 按力产生的效果进行分解

2、运算法则：

(1)平行四边形法则：求两个互成角度的共点力F₁，F₂的合力，可以把F₁，F₂的线段作为邻边作平行四边形，它的对角线即表示合力的大小和方向；

(2)三角形法则：求两个互成角度的共点力F₁，F₂的合力，可以把F₁，F₂首尾相接地画出来，把F₁，F₂的另外两端连接起来，则此连线就表示合力F的大小和方向；

(3)共点的两个力F₁，F₂的合力F的大小，与它们的夹角θ有关，θ越大，合力越小；θ越小，合力越大，合力可能比分力大，也可能比分力小，F₁与F₂同向时合力最大，F₁与F₂反向时合力最小，合力大小的取值范围是　　 | F₁－F₂|≤F≤(F₁+F₂)

(4)三个力或三个以上的力的合力范围在一定的条件下可以是：0≤F≤| F₁+F₂+…Fn|

1、求几个力的合力叫力的合成，求一个力的分力叫力的分解．

2、合力与它的分力是力的效果上的一种等效替代关系。

1、一个力如果它产生的效果跟几个力共同作用所产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，那几个力就叫做这个力的分力．

5、摩擦力大小的计算与应用

[例8]如图所示，水平面上两物体 m_l、m₂经一细绳相连，在水平力F的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为(ABC )

　　 A．零；B．F/2； C．F；D．大于F

　　 解析：当m₂与平面间的摩擦力与F平衡时，绳中的张力为零，所以A对；当m₂与平面间的最大静摩擦力等于F/2时，则绳中张力为F/2，所以B对，当m₂与平面间没有摩擦力时，则绳中张力为F，所以C对，绳中张力不会大于F，因而D错．

　　 答案：ABC

　　 点评：要正确解答该题，必须对静摩擦力，最大静摩擦力有深刻正确的理解．

[例9]如图所示，传送带与水平面的夹角为37⁰并以10m/s的速度匀速运动着，在传送带的A端轻轻放一小物体，若已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，AB间距离S=16m，则小物体从A端运动到B端所需的时间为：(1)传送带顺时针方向转动？(2)传送带逆时针方向转动？

A、2.8s；B、2.0s；C、2.1s；D、4.0s；

[分析与解](1)对物体受力分析如图，沿皮带所在的斜面方向有a=gsin37⁰-μgcos37⁰=2m/s²，因物体沿皮带向下运动而皮带向上运动，所以整个过程物体对地匀加速运动16m，据s=at²得t=4.0s，D选项正确。

(2)当物体下滑速度小于传送带时，物体的加速度为a₁,(此时滑动摩擦力沿斜面向下)则：a₁==gsin37⁰+μgcos37⁰=10×0.6+0.5×10×0.8=10米/秒²

　t₁=v/a₁=10/10=1米,S₁=½a₁t₁²=½×10×1²=5米

当物体下滑速度大于传送带V=10米/秒 时，物体的加速度为a₂(此时f沿斜面向上)则：

a₂===gsin37⁰－μgcos37⁰=10×0.6－0.5×10×0.8=2米/秒²

S₂=vt₂+½a₂t²=(a₁t₁)t₂+½a₂t₂²=10×1×t₂+½×2×t₂²=16－5=11

　即：10t₂+t₂²=11 　 解得：t₂=1秒(t₂=-11秒舍去)

所以，t=t₁+t₂=1+1=2秒，B选项正确。

拓展与思考：①皮带不传时与哪种情况类似？

②皮带逆时针转时，若μ=0.8，物体从A到B需多长时间？

③求上述(1)、(2)过程中产生的热量？

注意：在计算摩擦力的大小之前，必须首先分析物体的运动的情况，判明是滑动摩擦，还是静摩擦，若是滑动摩擦，可用 f=μN计算．但要注意N是接触面的正压力，并不总是等于物体的重力。若是静摩擦．一般应根据物体的运动情况(静止、匀速运动或加速运动)，利用平衡条件或运动定律求解。 最大静摩擦力(1)大小：f_m=μ₀N，(2)最大静摩擦力与物体运动趋势无关，而只跟μ₀N有关，它比滑动摩擦力略大一些，在许多问题的处理过程中往往将其大小等于滑动摩擦力．

试题展示

散　　　　　 力的合成与分解

基础知识一．合力与分力