3.波的双向性

　　 双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．

2.波的时间的周期性

　　 在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况(位移、速度、加速度等)相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．

波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．

波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．

1.波的空间的周期性

　　 沿波的传播方向，在x轴上任取一点P(x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT₀/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．

　 　空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．

4．已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移．

　　 求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函数较复杂．但Δt若为半周期T/2的整数倍则很容易．

　　 在半周期内质点的路程为 2A．若Δt= n·T/2， n＝ 1、2、3……，则路程s=2A·n，其中n=．

当质点的初始位移(相对平衡位置)为x₁＝x₀时，经T/2的奇数倍时x₂=－x₀，经T/2的偶数倍时x₂＝x₀．

[例11]如图所示,在xOy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐振动横波,波速为1m/s,振幅为4cm,频率为2.5Hz,在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处,则距P点为0.2m的Q点

A、在0.1s时的位移是4cm;

B、在0.1s时的速度最大;

C、在0.1s时的速度向下;

D、在0到0.1s的时间内路程是4cm;

解析:,P与Q相距λ/2,先画出若干个波长的波形,经过0.1s也就是T/4后,Q点将回到平衡位置,且向上运动,B项正确;在0到0.1s时间内通过的路程为振幅,即4cm,D项正确

拓展:若求经Δt=2.5s时Q的路程和Q的位移,如何求?

试题展示

　　　　　　 专题：振动图像与波的图像及多解问题

知识简析

3．已知波速V和波形，画出再经Δt时间波形图的方法．

(1)平移法：先算出经Δt时间波传播的距离上Δx＝V·Δt，再把波形沿波的传播方向平移动Δx即可．因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移nλ时波形不变，当Δx=nλ十x时，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可

(2)特殊点法：(若知周期T则更简单)

在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰(谷)点，先确定这两点的振动方向，再看Δt＝nT+t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别做出两特殊点经 t后的位置，然后按正弦规律画出新波形．

[例7]图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。

解析:由波形图已知λ=0.08m,由T=λ/v=0.08/4=0.02s,经过t=1.25s,即相当于1.25/0.02=62.5个周期,而每经过一个周期,波就向前传播一个波长。经过62.5个周期，波向前传播了62.5个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而原有波形不会发生改变,所以可以先画出经过1/2周期后的波形，如图。再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图。

[例8]如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知波速v=0.5m/s，画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。

解析：λ=2m，v=0.5m/s，=4 s.所以⑴波在7s内传播的距离为x=vt=3.5m=7λ/4,⑵质点振动时间为7T/4。

方法1　 波形平移法：现有波形向右平移可得7s后的波形；

现有波形向左平移λ可得7s前的波形。

由上得到图中7s后的瞬时波形图(粗实线)和7s前的瞬时波形图(虚线)。

方法2　 特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点(如平衡点和峰点)在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。

[例9]一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图15所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值(　 )

A．1个　　 B．2个　　　　

　C．3个　　D．4个

解析：由题意：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。

[例10]一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P和Q的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P点离振源较Q点近，则该波的波长值可能为多少？若Q点离振源较P点近，则该波的波长值又可能为多少？

　 分析：由图可知，T= 4s，P近，波由P向Q传，P先振动，Q后振动，Dt=Kt+3T/4，所以，S_PQ=kl+3l/4，则　 k=0，1，2L

　 若Q近，波由Q向P传，Q先振动，P后振动，Dt=Kt+T/4，所以，S_PQ=kl+l/4，则　　 　　k=0，1，2L

(1)波的图象

①坐标轴：取质点平衡位置的连线作为x轴，表示质点分布的顺序；取过波源质点的振动方向作为Y轴表示质点位移．

②意义：在波的传播方向上，介质中质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移．

③形状：正弦(或余弦)图线．

因而画波的图象．要画出波的图象通常需要知道波长λ、振幅A、波的传播方向(或波源的方位)、横轴上某质点在该时刻的振动状态(包括位移和振动方向)这四个要素．

(2)简谐波图象的应用

①从图象上直接读出波长和振幅．

②可确定任一质点在该时刻的位移．

③可确定任一质点在该时刻的加速度的方向．

④若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向．若已知某质点的振动方向，可确定波的传播方向．

⑤若已知波的传播方向，可画出在Δt前后的波形．沿传播方向平移Δs=vΔt.

规律方法　　　　　 1、机械波的理解

[例2]地震震动以波的形式传播，地震波有纵波和横波之分。

(1)图中是某一地震波的传播图，其振幅为A，波长为λ，某一时刻某质点的坐标为(λ，0)经1/4周期该质点的坐标是多少？该波是纵波还是横波。

A．纵波(5λ/4．0)　　 B．横波(λ，－A)

C．纵波(λ，A)　　　 D．横波(5λ/4．A)

(2)若 a、b两处与c地分别相距300 km和200 km。当 C处地下15 km处发生地震，则

A．C处居民会感到先上下颠簸，后水平摇动　　　　 B．地震波是横波

C．地震波传到a地时，方向均垂直地面　　　　　　 D．a、b两处烈度可能不同

解析:(1)由题图知，该地震波为横波，即传播方向与振动方向垂直。

某质点的坐标(λ，0)即为图中a点，经1/4周期，a点回到平衡位置下面的最大位移处，即位移大小等于振幅，坐标为(λ，－A)，(水平方向质点并不随波逐流)。　 故答案为B

(2)由于地震波有横波、纵波之分，二者同时发生，传播速度不同而异，传到a、b两处，由于距离，烈度也当然不同。　　 故答案为A、D。

[例3]1999年9月台湾南投地区发生了里氏7．4级大地震，已知地震中的纵彼和横波在地表附近的传播速度为 9．1km／s和3．7km／s，在某地的观测站中，记录了南投地震的纵波和横渡到达该地的时间差5．4S．

(1)求这个观测站距南投的距离．

(2)观测站首先观察到的是上下振动还是左右晃动？

解析：(1)设观测站距南投的距离为S，则　 －=t，s=t=34km

(2)因为纵波先到观测点，因而先观察到的是左右晃动。

2、质点振动方向和波的传播方向的判定

(1)在波形图中，由波的传播方向确定媒质中某个质点(设为质点A)的振动方向(即振动时的速度方向)：逆着波的传播方向，在质点 A的附近找一个相邻的质点B．若质点B的位置在质点A的负方向处，则A质点应向负方向运动，反之。则向正方向运动如图中所示，图中的质点A应向y轴的正方向运动(质点B先于质点A振动．A要跟随B振动)．

(2)在波形图中．由质点的振动方向确定波的传播方向，若质点C是沿Y轴负方向运动，在C质点位置的负方向附近找一相邻的质点D．若质点D在质点C位置X轴的正方向，则波由X轴的正方向向负方向传播：反之．则向X轴的正方向传播．如图所示，这列波应向X轴的正方向传播(质点c要跟随先振动的质点D的振动)

具体方法为：①带动法：根据波的形成，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理，在被判定振动方向的点P附近(不超过λ/4)图象上靠近波源一方找另一点P^/，若P^/在P上方，则P^/带动P向上运动如图，若P^/在P的下方，则P^/带动P向下运动．

②上下坡法：沿着波的传播方向走波形状“山路”，从“谷”到“峰”的上坡阶段上各点都是向下运动的，从“峰”到“谷”的下坡阶段上各点都是向上运动的，即“上坡下，下坡上”

③微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动Δx＝v·Δt＜λ/4，则可判定P点沿y方向的运动方向了．

　 反过来已知波形和波形上一点P的振动方向也可判定波的传播方向．

[例4]如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在X轴上的距离s=30m，波沿x轴正方向传播，当a振动到最高点时b恰好经过平衡位置，经过3s，波传播了30m，并且a经过平衡位置，b恰好到达最高点，那么．

　　 A．这列波的速度一定是10 m／s　　 B．这列波的周期可能是0．8s

　　 C．这列波的周期可能是3s　　　　 D．这列波的波长可能是 24 m

　解析：因波向外传播是匀速推进的，故v＝ΔS／Δt=10m/s，设这列波的振动周期为T，由题意知经3s，a质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3(n=1，2……)

　　 另由v=λ/T得波长λ=，(n＝0，1，2……)

　　 在n＝2时，对应的波长λ＝24 m；在n＝7时，T＝0．8s．故选项A、B、D正确．答案：ABD

　点评：本题在写出周期T的通式时即应用了“特殊点法”，对a质点，同波峰回到平衡位置需T／4 时间，再经T/2又回到平衡位置……，这样即可写出T的通式．当然，若考虑质点b，也能写出这样的通式(同时须注意到开始时b恰好经过平衡位置，包括向上通过平衡位置和向下通过平衡位置这两种情况)．

[例5]一列波在媒质中向某一方向传播，图所示的为此波在某一时刻的波形图，并且此时振动还只发生在M、N之间．此列波的周期为T，Q质点速度方向在波形图中是向下的，下列判断正确的是　　　　 (　　 )

A．　 波源是M，由波源起振开始计时，P质点已经振动的时间为T；

B．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3 T／4

C．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4。

D．波源是M，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4

解析:若波源是M，则由于Q点的速度方向向下，在 Q点的下向找一相邻的质点，这样的质点在Q的右侧，说明了振动是由右向左传播，N点是波源，图示时刻的振动传到M点，P与M点相距λ／4，则P点已经振动了T／4．故C选项正确。

点评：本题关键是由质点的运动方向确定波的传播方向，从而确定波源的位置．

[例6]如图所示，O为上下振动的波源，振动频率为100Hz，它P所产生的横波同时向左、向在传播．波速为80 m／s，M、N两质点距波源的距离分别为OM＝17．4m，ON＝16．2m，当波源通过平衡位置向上振动时，M、N两质点的位置分别为(　　　 )

A．M点在波峰，N点在波谷；　　 B．M、N两点均在波峰

C．N点在波峰，M点在波谷；　　 D．M、N两点均在波谷

解析:由题意可知该列波的波长为λ＝v／f＝80／100m＝0．8m．M、N两点与波源的距离分别为OM＝17．4m＝(21+3／4)λ， ON=16．2m＝(20+l／4)A．这说明 M、N两点为反相点，当波源 O在平衡位置向上振动时波形图如图所示，图中的P点与M点是同相点，Q点与N点是同相点，所以M在波峰，N点在波谷，A选项正确

点评：本题关键有两点：当波源O由平衡位置向上运动时，波源两侧的质点的波形图的形状，也就是确定如图的波形图(O两侧相邻的质点均追随O点向上运动且在O点的下方)；在O点的附近寻找M、N两点的同相点P、Q。

　　 波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．

　 波长是质点完成一次全振动所传播的距离,所以波长的长度与波速v和周期T有关．即波长由波源和介质共同决定．

　　 由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变．

　　 ②振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越滞后．沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点的振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的．反之，相距1/2个波长的两质点的振动步调是相反的．所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源的振动同步(同相振动)；与波源相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反(反相振动．)

[例1]一简谐横波的波源的振动周期为1s，振幅为1crn，波速为1m／s，若振源质点从平衡位置开始振动，且从振源质点开始振动计时，当 t＝0．5s时(　　 )

A．距振源¼λ处的质点的位移处于最大值　　 B．距振源¼λ处的质点的速度处于最大值

C．距振源½λ处的质点的位移处于最大值　　 D．距振源½λ处的质点的速度处于最大值

　　 解析：根据题意，在0．5s 内波传播的距离 Δx＝vt＝0．5m．即Δx=½λ．也就是说，振动刚好传播到½λ处，因此该处的质点刚要开始振动，速度和位移都是零，所以选项C、D都是不对的，振源的振动传播到距振源¼λ位置需要的时间为T/4=0。25s，所以在振源开始振动0．5 s后．¼λ处的质点，振动了0．25 s，即1/4个周期，此时该质点应处于最大位移处，速度为零．　　 答案：A

3．波速：单位时间内波向外传播的距离。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。

2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率(或周期)，波速与波长都发生变化．