2.二项定理问题的处理方法和技巧

⑴ 运用二项式定理一定要牢记通项T_r+1 =Ca^n－rb^r，注意(a +b)ⁿ与(b+a)ⁿ虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.

⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：

①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；

②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”--构造函数或构造同一问题的两种算法；

③证明不等式时，应注意运用放缩法.

⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求T_r+1，有时还需先求n，再求r，才能求出T_r+1.

⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.

⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.

⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.

1.排列组合应用题的处理方法和策略

⑴ 使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.

⑵ 排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.

⑶ 复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.

⑷ 按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.

⑸ 处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.

⑹ 在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定--问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.

常见的解题策略有以下几种：

①特殊元素优先安排的策略；

②合理分类与准确分步的策略；

③排列、组合混合问题先选后排的策略；

④正难则反、等价转化的策略；

⑤相邻问题捆绑处理的策略；

⑥不相邻问题插空处理的策略；

⑦定序问题除法处理的策略；

⑧分排问题直排处理的策略；

⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

⑩构造模型的策略.

1.排列与组合

⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.

⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.

⑶ 排列与组合的主要公式

①排列数公式： (m≤n)　

A=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1.

②组合数公式：　(m≤n).

③组合数性质：①(m≤n).　　　　 ②　　

③

2二项式定理

⑴ 二项式定理

(a +b)ⁿ =Caⁿ +Ca^n－1b+…+Ca^n－rb^r +…+Cbⁿ，其中各项系数就是组合数C，展开式共有n+1项，第r+1项是T_r+1 =Ca^n－rb^r.

⑵ 二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项T_r+1=Ca^n－rb^r(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。

⑶ 二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，

即C= C　(r=0,1,2,…,n).

②若n是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为C；若n是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C= C.

③所有二项式系数和等于2ⁿ，即C+C+C+…+C=2ⁿ.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，

即C+C+…=C+C+…=2^n―1.

(4) 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p_n(k) = Cp^k(1―p)^n―k.　实际上，它就是二项式[(1―p)+p]ⁿ的展开式的第k+1项.

(5)独立重复试验与二项分布

①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：(1)相同条件；(2)多次重复；(3)各次之间相互独立；

②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．

(四)巩固练习：

1．函数的值域为　 　　．

2．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则　　 ．

(二)(配方法)，

∴的值域为．

改题：求函数，的值域．

解：(利用函数的单调性)函数在上单调增，

∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．

∴函数，的值域为．

(2)求复合函数的值域：设()，则原函数可化为．

又∵，∴，故，

∴的值域为．

(3)(法一)反函数法：的反函数为，其定义域为，

∴原函数的值域为．

(法二)分离变量法：，

∵，∴，

∴函数的值域为．

(4)换元法(代数换元法)：设，则，

∴原函数可化为，∴，

∴原函数值域为．

说明：总结型值域，变形：或

(5)三角换元法：∵，∴设，

则

∵，∴，∴，∴，

∴原函数的值域为．

(6)数形结合法：，∴，∴函数值域为．

(7)判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．

由得：　　 ①

①当即时，①即，∴

②当即时，∵时方程恒有实根，

∴，∴且，

∴原函数的值域为．

(8)，

∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．

(9)(法一)方程法：原函数可化为：，

∴(其中)，

∴，∴，∴，∴，

∴原函数的值域为．

(法二)数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．

例2．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．

解：原方程可化为，

令，则，，又∵在区间上是减函数，

∴，即，

故实数的取值范围为：．

例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．

已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．

(1)将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；

(2)该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝收入－生产成本－促销费)

解：(1)由题设知：，且时，，∴，即，

∴年生产成本为万元，年收入为．

∴年利润，

∴．

(2)由(1)得，

当且仅当，即时，有最大值．

∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．

(三)例题分析：

例1．求下列函数的值域：

(1)；　　 (2)；　　 (3)；

(4)；　 (5)；　　　 (6)；

(7)；　 (8)； (9)．

解：(1)(一)公式法(略)

(二)主要方法(范例分析以后由学生归纳)：

求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法(反函数法)，换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．

(一)主要知识：

1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．

(四)巩固练习：

1．已知的定义域为，则的定义域为．

2．函数的定义域为．