11.如图所示，抛物线y=4-x²与直线y=3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动.

(1)求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b);

(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分为面积相等的两部分.

(1)解　 解方程组，得x₁=1,x₂=-4.

∴抛物线y=4-x²与直线y=3x的交点为

A(1，3)，B(-4，-12)，

∴P点的横坐标a∈(-4,1).

点P(a,b)到直线y=3x的距离为d=,

∵P点在抛物线上，∴b=4-a²，

=·(4-3a-a²)′= (-2a-3)=0,

∴a=-，即当a=-时，d最大，

这时b=4-=,

∴P点的坐标为(-,)时，△PAB的面积最大.

(2)证明　 设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S,

位于x=-右侧的面积为S₁.

S=(4-x²-3x)dx=,

S₁=(4-x²-3x)dx=,

∴S=2S₁,即直线x=-平分抛物线与线段AB围成的图形的面积.

10.设函数f(x)=x³+ax²+bx在点x=1处有极值-2.

(1)求常数a,b的值；

(2)求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.

解　 (1)由题意知f′(x)=3x²+2ax+b,

f(1)=-2且f′(1)=0,

即，解得a=0,b=-3,

即f(x)=x³-3x.

(2)作出曲线y=x³-3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x³-3x=0得曲线y=x³-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x³-3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.

所以(-,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等.

所以所求图形的面积为

S=2［0-(x³-3x)］dx

=-2(x⁴-x²)|=.

9.证明：把质量为m(单位：kg)的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W=G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径.

证明　 根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m₁、m₂的质点，它们之间的引力为f(r)=G·，其中G为引力常数.

则当质量为m的物体距地面高度为x(0≤x≤h)时，地心对它的引力f(x)=G·.

故该物体从地面升到h高处所做的功为

W=f(x)dx=G··dx

=GMmd(k+x)

=GMm|

=GMm

=G·.

8.若f(x)是一次函数，且f(x)dx=5, xf(x)dx=,那么函数f(x)的解析式是　　　　 .

答案　 f(x)=4x+3

7.汽车以v=3t+2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是　　　　 　m.

答案　 6.5

6.函数F(x)=t(t-4)dt在［-1,5］上的最大值为　　　　　 ，最小值为　　　　　　 .

答案　 0　 -

5.一物体在变力F(x)=5-x²(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)做的功为　　　　 J.

答案　

4.一物体在力F(x)= (单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)做的功为　　　　 J.

答案　 46

3.设f(x)=sintdt,则f(f())=　　　　　　 .

答案　 1-cos1

2.设f(x)=则f(x)dx=　　　　　　 .

答案