3.利用导函数图象解答问题

例5．(2008金华一中模拟)函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在(　 )

A.第一象限　　 B.第二象限　　 C.第三象限　　 D.第四象限

分析：由导函数的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。

解：它的导函数的图象是如图所示的一条直线，可知原函数为二次函数，设解析式为，由于函数的图象过原点，所以，为减函数，∴，由的图象可知当时，函数的图象过原点，所以顶点在第一象限

评注：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉。

例6.(2009莱阳)设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是

解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一判断. A,B,C

都有可能成立,排除A,B,C,选D

答案:D

评注:正确图象判断的原则为: 函数的单调增,则导函数值为正, 函数的单调减,则导函数值为负.

2.利用函数的图象解答问题

例2．(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是(　　 )

A.　 B.　 C.　　 D.

分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。

解：作出函数的图象如图所示，由图知

当时，函数的值域

为，而为复合函数，相当

于中的的值，所以的值域是，故选B。

答案：B

评注：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。

例3．(2008广东深圳中学)若的图象必不经过　　　 (　　 )

　　　　 A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限　　　　　　　　 C．第三象限　　　　　　　　 D．第四象限

解析:由知函数图象单调递增,由知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B.

答案:B

评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换.

例4．(宁夏区银川一中2008)函数的零点的个数是　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　　 A．3个　　　　　　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　　　　　　 C．1个　　　　　　　　　　　　　 D．0个

分析：函数的零点的个数就是方程的

解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。

解： 的零点，即使，作函数

的图象和函数的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个

零点，故选

答案：

评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答

1．集合问题中的数形结合

例1.(2008北京卷,理1)已知全集，集合，，那么集合等于(　　 )

A．　 B．C．　　 D．

分析:不等式表示的集合通过数轴解答.

解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D

答案:D

评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算

7．预测题

(1)．(2008宁夏区银川一中，改编)矩形的

任意一点落在由函数

所围成的一个封闭图形内的点所占的概率是　　　　 (　　 )

　　　　 A．　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　 　　　 D．

分析：阴影部分的图形不规则，其面积只能用定积分求出，概率为面积之比。

解：由题意可知阴影部分的面积为，矩形的面积为，矩形的任意一点落在由函数的图象所围成的一个封闭图形内的点所占的概率是，故选　

评注：对于不规则图形的面积要用定积分求出，再由几何量之比求出概率。

(2)．(原创)在区间上任取两个数，则方程没有实根的概率为　　　　 .

分析：求出方程有实根的条件，可发现这是一个求几何概型的概率问题，求出相关平面区域的面积，即可求概率.

解：若使方程有实根，须满足，

即它表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示，

其面积为，又事件空间对应的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1，故所求概率为.

评注：本小题把二次方程、线性规划、定积分、概率综合为一体，综合考查了数形结合的思想、转化与化归的思想和必然与或然的数学思想。

(3)．某网站有台相同的网络服务器，每个网络服务器都有个外网端口，据以往的安全监控分析得知，这个网络端口各自受黑客入侵的概率为，只要有两个网络端口被入侵就会导致该服务器瘫痪，从而导致该服务器中断工作． 网站的各台服务器互相独立工作，网站至少有两台服务器能工作，该网站就能正常运营．

①求每个服务器中断工作的概率；

②求该网站能够正常运营的概率；

③设网站能正常工作的服务器的台数为随机变量，求

分析：每个服务器中断工作的概率比较好求，正面求出或反面求出，网站至少有两台服务器能工作，该网站就能正常运营，情况就比较复杂，而反面只有两种情况，就是网站不能运营，是指的这个网站至多只有一台服务器能正常工作。网站能正常工作的服务器的台数为随机变量服从二项分布，可按公式计算。

解：①先求服务器能正常工作的概率．每台服务器能正常工作是指这台服务器至少有两个端口没有受到黑客入侵，故这个概率是．

即每个服务器中断工作的概率为．

②先求该网站不能运营的概率．该网站不能运营是指的这个网站至多只有一台服务器能正常工作，故这个概率是，故这个网站能正常运营的概率是．

③，故．

评注：本题中构造了重复独立试验事件的概率，对于 “至多”、“至少”问题可以正、反两方面考虑，需要看怎么解答简单。

(4)(原创)(文科)甲、乙两人玩数字游戏，各从1到9这九个数字中随机抽取一个数字，甲抽取的数字为十位数字，乙抽取的数字为个位数字，构成一个十位数

①事件“两位上的数字相同的十位数”的概率

②事件“两位上的数字之和小于9的十位数”的概率

③事件“两位上的数字之和等于或大于11十位数”的概率.

分析：甲抽取的数字为十位数字，乙抽取的数字为个位数字，构成一个十位数，抽取的过程是随机的等可能的，可以一一列出所以的基本事件，从中找出满足要求的基本事件。

解: 甲、乙两人都是从1到9这九个数字中随机抽取数字，构成十位数，所以是等可能事件，甲、乙两人抽取的数字都有9种情况,构成的十位数分别为11，12，13，14，…19，21，22，23，24，…29，31，32，33，34，…39；……91，92，93，94，…99,所以基本事件总数为9×9=81个

①记“两位上的数字相同的十位数”为事件,则事件有9个基本事件,即11，22，33，44，55，66，77，88，99　　　　 ∴

②记“两位上的数字之和小于9的十位数”为事件,则事件所包含的基本事件有 11，12，13，14，15，16，17；21，22，23，24，25，26；31，32，33，34，35；41，42，43，44；51，52，53；61，62；71共有7+6+5+4+3+2+1=28个基本事件,∴

③记“两位上的数字之和等于或大于15的十位数”为事件,则事件所包含的基本事件有69；78，79；87，88，89；96，97，98，99有1+2+3+4=10个基本事件　　 ∴

评注：对于文科的概率考题来说，基本上都是古典概型，并且是按列举出所有基本事件，从中找出符合要求的基本事件的概率。

(5)(2008届莆田四中)甲，乙两人参加某电视台举办的答题游戏，两人分别各自从8道备选题中任抽取4道做答。已知8道题中甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的4道题。

(1)求甲，乙两人都答对其中3道的概率；

(2)设甲答对题目的个数为，求的分布列与数学期望。

分析：自从8道备选题中任抽取4道做答，答对其中3道，这就意味着有一道答不对，甲答对题目的个数为服从超几何分布，从而列出分布列。甲，乙两人都答对其中3道，为相互独立事件同时发生。

解：(1)设甲、乙两人答对其中3道的事件分别为，

则,　　

所以甲、乙都答对其中3道的概率

(2)　　　 甲答对题目的个数的取值为0，1，2，3，4

　，　 ，　 　，

，　

的分布列为

	0	1	2	3	4
P

所以

评注：本题为超几何分布列，解决概率问题一定要注意题目的类型，理解好题意解答问题。

(6).(原创)(理科)集市上有一种“弹珠子”的小游戏：游戏者交两元钱给摊主，就可以弹珠子一局(一局为独立弹珠子三次)，珠子弹出后在盘中经过一系列碰撞后等可能地随机滚入编号为1、2、3的三个盒子中．珠子如果滚入1号盒子中游戏者均积1分，如果滚入2号盒子中，游戏者积2分．如果滚入3号盒子中游戏者均积分，游戏者可以根据不同积分领取奖品．现甲、乙两人进行比赛游戏,用表示甲游戏者玩一局的总积分.

(Ⅰ)求的分布列和数学期望．(Ⅱ)用表示“甲、乙两人总得分之和等于2”这一事件，用表示“甲总得分大于乙总得分”这一事件，求．

分析：本题中的随机变量的取值需要按实际情况分别探讨，分类完成，列出分布列。

解：由题意知，x 的取值为－9，－5，－4，－1，0，1，3，4，5，6．

∵ 珠子是等可能地随机滚入三个盒子中，∴ 珠子滚入每个盒子的概率都是．

∴ P(x =－9)==，P(x =－5)= =，

P(x =－4)= =，P(x =－1)= =，

P(x = 0)=，P(x = 1)=，

P(x = 3)==，　　 P(x = 4)=，

P(x = 5)=，　 P(x = 6)= =．

∴ x 的分布列是：

x	－9	－5	－4	－1	0	1	3	4	5	6
P

x 的数学期望

Ex =

(Ⅱ)用表示“甲得6分,乙得－4分”这一事件，用表示“甲得3分,乙得－1分”这一事件，

所以，且互斥，

又

=

由互斥事件的概率公式得

评注：本题中的随机变量x 的取值比较麻烦，需要分别计算所有各种情况的分值，并算出所占的概率，所有事件的概率之和为1，可以以此检验计算是否正确。而则需要理解透题意，并把相互独立事件同时发生转化为互斥事件的概率求出。

6．一般的随机事件的概率及其分布列

例13．(2008北京理18)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．

(I)求合唱团学生参加活动的人均次数；

(II)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

(III)从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

分析：首先要把图形语言转化为文字语言，变为已知条件，转化信息，他们参加活动次数恰好相等会分三种情况，即都参加1项，2项或3项公益活动，分别计算合并，(III)中注意随机变量的含义为表示这两人参加活动次数之差的绝对值，列出所有可能情况求出。

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为．

(II)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．

(III)从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

；

；

的分布列：

	0	1	2

的数学期望：．

评注：解决本题的关键是要读懂题意，注意图形语言的转化和题目所要求的要解决的问题。

例14．(2008重庆卷,理18)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：

(Ⅰ) 打满3局比赛还未停止的概率；

(Ⅱ)比赛停止时已打局数的分别列与期望E.

分析：打满3局比赛还未停止，说明三人中没有连续获胜的，即第一局如果甲获胜，则第二局丙获胜，第三局乙获胜，对应一种情况；同理，第一局如果乙获胜也对应一种情况。比赛停止时已打局数最少两局，最多六局，可以分别按前面的做法交叉进行下去，一一计算。

解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

(Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比

赛还未停止的概率为

(Ⅱ)的所有可能值为2，3，4，5，6，且

　 故有分布列

	2	3	4	5	6
P

　　　　从而(局).

评注：本题中的随机事件的概率，只能分别按实际情况分类计算。

5．超几何分布

例12．(2008全国II理18)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．

分析：本题已知“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率，求从该批产品中任取1件是二等品的概率，可以用表示出至多有1件是二等品的概率，分两种情况，取出的2件产品中无二等品，和取出的2件产品中恰有1件二等品，利用互斥事件的概率公式求出。(2)中的所有取值列出，总体中有特殊，所以是超几何分布类型，按照要求取出求出分布列。

解：(1)记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，　　 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．　　　 则互斥，且，故　　　

，　　 于是．

　　　　 解得(舍去)．

(2)的可能取值为．

若该批产品共100件，由(1)知其二等品有件，故

　　　　 ．　 ．．

所以的分布列为

	0	1	2

评注：本题为超几何分布，是总体中有特殊，能否取到特殊元素，取几个等问题按个数求的分布列，其实质就是按要求取元素的过程。

4．两点分布、二项分布、重复独立试验的概率

例9．(2008安徽卷，理19)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。

(Ⅰ)求的值并写出的分布列；

(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

分析：一株沙柳要么成活，要么不成活，属于两点分布，对于株沙柳来说就是二项分布，可用公式直接表示数学期望和标准差，求出的值并写出的分布列，3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，可以从正面解答，也可从反面解答，转化为不需要补种的问题。

解：(1)由得,

从而，的分布列为

	0	1	2	3	4	5	6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A,　 则　 得

　 　或

评注：本题为比较简单的二项分布问题，直接运用公式进行计算即可。要对二项分布列必须熟悉。

例10．(08山东卷，理18)甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．

(Ⅰ)求随机变量的分布列和数学期望；

(Ⅱ)用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求．

分析：甲队中每人答对的概率均为，表示甲队的总得分，则随机变量服从二项分布，乙队中3人答对的概率都不同，各人回答正确与否相互之间没有影响，事件为相互独立事件，事件是甲、乙两个队总得分之和等于3，事件是甲队总得分大于乙队总得分，则就是甲、乙两个队总得分之和等于3且甲队总得分大于乙队总得分的事件，所以甲、乙两队的分数之间有联系，可以先确定一个，再确定另一个，从而分类求得。

(Ⅰ)解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且

，，

，．

所以的分布列为

	0	1	2	3

的数学期望为．

解法二：根据题设可知，，

因此的分布列为，．

因为，所以．

(Ⅱ)解法一：用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又

，

，

由互斥事件的概率公式得．

解法二：用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件，．

由于事件，为互斥事件，故有．

由题设可知，事件与独立，事件与独立，因此

．

评注：本题中涉及到两个队，情况比较复杂，要学会透过现象看本质，仔细分析题目，由浅入深，排除干扰，抓住问题的实质解答问题。另外还要看到两队之间的联系，从而找到解决问题的策略。分类讨论做到不重不漏。

例11．(2008全国二，理18)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率；

(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．

分析：由一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立，可知这些保险是服从二项分布的；保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，盈利就是该险种总收入减去成本和赔偿金总额，而赔偿金总额与出险的人数为有关由(Ⅰ)知服从二项分布，从而计算出盈利的期望。

解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，则．

(Ⅰ)记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， ，

又，故．

(Ⅱ)该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．

支出　　　　　 ，

盈利　　　　　 ，

盈利的期望为　 ，

由知，，

．

(元)．

故每位投保人应交纳的最低保费为15元．

评注：本题中的数学环境是以保险为背景考查二项分布列，对于学生来说有些陌生，不易理解，而第二问又是间接地解答问题，所以本题难度较大。

3．互斥事件与相互独立事件的概率

例6．(2008四川卷，理18) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

　(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(Ⅲ)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。

分析：购买甲、乙两种商品是相互独立的，1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种有两种情况，买甲不买乙或买乙不买甲，又是互斥事件，按互斥事件的概率进行计算；进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，对于至少问题，可以正面计算，也可以反面计算；进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数可以为0，1，2，3，应该是(Ⅱ)的二项分布

解：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

　 　记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

(Ⅰ)，　　　

(Ⅱ)，

(Ⅲ)，故的分布列，

，

，　 所以

评注：此题重点考察相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；

分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用。

例7．(2008天津卷，文18)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．

(Ⅰ)求乙投球的命中率；

(Ⅱ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；

(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．

分析：乙投球2次均未命中的概率为，求乙投球的命中率，属于逆向思维，列出方程解出即可。甲投球2次，至少命中1次，对于“至少”问题可以正面解答，也可以反面解答。甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次，应该有多种情况，分类计算。

(Ⅰ)解法一：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．

由题意得

解得或(舍去)，所以乙投球的命中率为．

解法二：设设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B．

由题意得，于是或(舍去)，故．

所以乙投球的命中率为．

(Ⅱ)解法一：由题设和(Ⅰ)知．

故甲投球2次至少命中1次的概率为

解法二：由题设和(Ⅰ)知

故甲投球2次至少命中1次的概率为

(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知，

甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次。概率分别为，

，

所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为．

评注：本小题是概率部分的常规题目，主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，分类要做到不重不漏。

例8．(江苏省盐城中学2008)某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．

(Ⅰ)求的分布列及数学期望；

(Ⅱ) 记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

分析：“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、“客人游览丁景点” 是相互独立的，按相互独立事件的概率计算，列出分布列，求出数学期望。“函数在区间上单调递增”，可以得到二次函数的对称轴与区间的位置关系，从而得到的范围。

解：(1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点” 、

“客人游览丁景点”为事件,由已知相互独立，

且

客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3，4;相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1,0.所以的可能取值为0，2,　 4

所以的分布列为

	0	2	4
P	0.3456	0.4992	0．1552

(2)因为所以函数在区间上单调递增．要使在上单调递增，当且仅当即

从而

评注：本题是相互独立事件的概率的求法，注意随机变量的取值要一一列出，并求出各种情况的概率，列出分布列。另外本题还与函数相结合计算概率。

2.几何概型

例3．(2008江苏卷，6)在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是　　 　

分析：本小题考查古典概型，其概率应为几何图形的面积比。

如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此．

答案：

评注：在解决几何概型问题时，要弄清整个事件的区域长度(面积或体积)，以及所研究事件的区域长度(面积或体积)，特别是平面几何图形的构成常常是考查的焦点，有可能与定积分相联系。

例4．(2008宁夏银川一中)如图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正 　 方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，

则他击中阴影部分的概率是　　 (　　 )

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．与的取值有关

分析：本小题考查古典概型，其概率应为几何图形的面积比。其中阴影部分的面积要通过规则的图形的面积求出，即正方形的面积去掉一个圆的面积。

解：正方形的面积为，而四个角空白部分合起来为半径为的一个圆，面积为，所以他击中阴影部分的概率是，故选A。

答案：A

评注：在解决几何概型问题时，对于不规则图形的面积要通过求定积分或规则图形的面积求出。

例5．(2007宁夏卷，文20)设有关于的一元二次方程．

(Ⅰ)若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

(Ⅱ)若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

分析：一元二次方程有实根的条件为，即。题(Ⅰ)可用列举法列出所有的基本事件，找出符合条件的基本事件。题(Ⅱ)就是几何概型。可作出试验的总区域，和符合条件的区域，应该是把看作有序数对对于平面上的点，可画出平面区域解答。

解：设事件为“方程有实根”．

当，时，方程有实根的充要条件为．

(Ⅰ)基本事件共12个：

．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．

事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．

(Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为．

构成事件的区域为．

所以所求的概率为．

评注：本题容纳了古典概型和几何概型的解法，要善于区分提炼，并进行转化，把数组看成平面内的点即可转化为平面区域问题用面积解答。

1．古典概型

例1．(2008海南卷，文19)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．

把这6名学生的得分看成一个总体．

(Ⅰ)求该总体的平均数；

(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

分析：本题为古典概型，先计算出总体平均数，列出所有的抽取情况，再从中找出符合条件的即两人的得分平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的所有情况。

解：(Ⅰ)总体平均数为

(Ⅱ)设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．所以所求的概率为．

评注：文科关于概率大题的考查基本上列举法，即列出所有的基本事件，从中找出满足要求的基本事件，然后求出它们的个数比即可。　

例2．(2008山东淄博，理)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：.

(Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

(Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.

分析：本题中每一张卡片被抽取到是等可能的，可利用排列组合的知识随机抽取和按要求无放回的抽取，从而计算出每个事件的概率，列出分布列求出数学期望。

解：(Ⅰ)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 　.　

　 (Ⅱ)ξ可取1，2，3，4

故ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P

答：ξ的数学期望为 ．

评注：在解答本题时，要弄清随机变量的所有取值情况，题目中有三个奇函数，三个偶函数，所以最多取4次就一定能取到记有偶函数的卡片，从而停止抽取。注意不放回地抽取，上一次的抽取结果会影响下一次的抽取，即下一次的总体个数减少。