例1．已知三棱锥内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.

例2．在北纬圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于 (为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。

例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，是截面圆的直径,是圆周上一点，是球的直径，

　　　 (1) 求证：平面平面；

　　　 (2) 如果球半径是，分为两部分, 且，求与所成的角；

(3) 如果，求二面角的大小。

例4.球面上三点组成这个球的一个截面的内接三角形，，

　　　 且球心到该截面的距离为球的半径的一半，

　　　 (1) 求球的体积；　　　 (2) 求两点的球面距离。

例5、从北京(北纬40⁰，东经120⁰)飞往南非首都约翰内斯堡(南纬30⁰，东径30⁰)有两条航线供其选择：甲航天线从北京沿纬度弧向西飞到希拉首都雅典(北纬40⁰，东径30⁰)，然后向南飞到目的地。乙航线：从北京向南飞到澳大利亚的珀斯(南纬30⁰，东径120⁰)，然后向西飞到目的地。间：哪一条航线较短？

1、(2002年北京高考题)64个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则(　 C　 ) 　(A)　　　　　　 (B)　 　(C)　　　　　　 (D)　 　2、一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是(　 C　 ) 　(A)　 　　　　　(B)　　　　 (C)　　　　　 (D)　　　　　　　 　3、(1998年全国高考题)球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4，那么这个球的半径为(　 B　 ) 　(A)　　　　　 (B) 　　　　(C)2　　　　　 (D)　　　　 　4、长方体的过一个顶点的三条棱长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　 D　　 ) 　(A)　　　　　 (B)　　 (C)　　　　 (D) 　5、在北纬圈上有甲、已两地，甲地位于东径，乙地位于西径，则地球(半径为R)表面上甲、乙两地的最短距离为(　 D　　 ) 　(A)　　　　　　　 (B)　　　 　　(C)　　　　 (D)

球：⑴球的截面是一个圆面.

①球的表面积公式：.

②球的体积公式：.

⑵纬度、经度：

①纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.

②经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.

附：①圆柱体积：(为半径，为高)

②圆锥体积：(为半径，为高)

③锥形体积：(为底面积，为高)

(3). ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，，，

得.

注：球内切于四面体：

②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.

　　　 汉初用道-秦朝亡于暴政,汉初天下凋敝,西汉采用了黄老无为思想,恢复经济,出现了文景之治.但道家思想不利于中央集权,出现了王国问题,威胁西汉统治. 　　　 汉武尊儒-汉武帝加强中央集权,董仲舒改造了儒家思想,吸收法家和道家,主张君权神授,天人感应.汉武帝采纳改造后的儒学为治国思想,”罢黜百家,独尊儒术”.至此,儒家为主(表),法家为辅(里),佐之以道的治国思想形成. 　　　 认识:中国治国思想由儒法道佛组成.儒家有利缓和矛盾维护统治,法家有利加强专制集权,道家恢复经济,佛道麻醉人民. 　　　 五、儒家思想的演变历程.现代价值. 　　　 (1)春秋创立-孔子提出仁,礼,主张以德治国,主张逐步改良. 　　　 (2)战国发展-孟子仁政,重民,反对苛政,保证农时,宽刑薄税. 　　　 (3)秦朝摧残-秦始皇焚书坑儒,儒家由民间转入地下. 　　　 (4)西汉独尊-董仲舒改造,吸收法道,汉武帝罢黜百家,独尊儒术.儒家成为封建社会的官方正统思想. 　　　 (5)宋朝系统-朱熹吸收佛道思想,将儒学发展为理学,提出”存天理,灭人欲”的主张,实际是为封建纲常辩护.儒学系统化,但也逐渐失去活力. 　　　 (6)明清受批-四书五经僵化了思想,李贽指责批判孔子,揭露道学虚伪;黄宗羲反对君主专制提倡法制;顾炎武提倡经世致用;王夫之提出朴素辨证,发展的思想,主张革新. 　　　 (7)近代崩溃-在戊戌变法后开始受到批判,新学的传播,科举的结束都是对儒家的打击;新文化运动中彻底被批判,儒家失去了其主流地位;1949年后儒家受极左思潮影响,被当作封建糟粕完全否定. 　　　 (8)新的曙光- 新时期以来,儒学对东南亚,东亚等国经济发展,社会稳定,发挥了积极作用. 　　　 现代价值-和谐论;统一观;重视德化;重视家庭人伦；民本思想。

单元二 封建国家大一统(秦汉) 　　　 一、阶段特征： 　　　 本阶段讲述从公元前221年年秦始皇统一到公元220年东汉灭亡的中国历史，简称秦汉。此阶段是封建社会的第一个高峰，即封建大一统时期。其中秦朝是第一个统一的封建多民族国家，西汉巩固了多民族的统一封建国家，东汉是封建统一走向分裂的时期。这一时期，中国社会的的政治大一统和专制集权格局，经济的封建农工商结合的自然经济格局，多民族交流融合的格局，大开放中心性外交的格局，应用性的科技文化格局基本定型，对后代影响十分深远。 　　　 (一)、政治-封建大一统：大统一和制度形成； 　　　 1、统一：秦朝顺应历史趋势，完成了中国历史第一次大统一，影响十分深远。 　　　 2、制度：秦朝建立了一整套专制主义中央集权的制度，为后代所沿用。两汉从多方面发展和完善了这一制度。 　　　 3、治国思想：治国思想趋于稳定，从法家，道家到改造后的儒家。 　　　 (二)、经济-封建经济第一个高峰。 　　　 此块属于星号内容，一般情况下高考不考。适当浏览，特别是生产工具和货币的图。 　　　 (三)、民族-多民族国家的建立巩固 　　　 1、秦汉周边生活着匈奴，西域，白越，诸夷等少数民族，大多出于奴隶社会阶段或更早。 　　　 2、秦汉采取有效的手段，巩固了多民族国家，促进了民族交流，开拓了边疆。这些手段包括自卫战争，通使联系，经济文化交流，设立管辖机构，和亲等。 　　　 (四)、外交-大开放的基本格局 　　　 1、秦汉形成大开放局面，源于国力强盛，政策开放，军事保障，交通开辟。 　　　 2、秦汉在东亚初步形成东亚文明中心，通过两条丝路和中亚，西亚，南亚，东南亚，欧洲建立联系。两条丝绸之路是重点。 　　　 3、秦汉和各国进行密切的经济文化交流，处于领先的地位。 　　　 (五)、文化-封建文化的高峰 　　　 1、秦汉的科技领先世界，包括天文历法，地动仪，九章算术，医学等。 　　　 2、秦汉的哲学，宗教，史学均有开创性重大贡献。 　　　 3、秦汉的文学艺术有鲜明的大一统的时代特征。如汉赋，兵马俑等。 　　　 二．专制主义中央集权制度的一个核心，两对矛盾(含义)，五方面内容和趋势，六个阶段，两面影响。 　　　 一个核心:皇权至高无上. 　　　 两对矛盾含义和趋势:专制主义的决策方式;中央集权的权力原则-两者相互联系.皇-相矛盾;中央-地方矛盾. 　　　 五方面内容和趋势:中央官制削弱宰相;地方官制分权弱权;选官制度不断强化;监察制度不断严密;法律体系日趋完备. 　　　 六个阶段:秦建立,汉巩固,隋唐完善,宋元强化,明清顶峰.近代结束. 　　　 两面影响:前期积极为主,后期消极上风.积极-巩固多民族统一国家,维护社会稳定,促进经济发展民族融合,中华文明的连续稳定发展;消极-皇权暴政，激化阶级矛盾;保守阻碍新生因素。

　　　 单元三 封建国家分裂和民族融合(魏晋南北朝) 　　　 阶段特征： 　　　 本阶段讲述从公元220年曹魏废汉到公元581年隋朝建立的中国历史，包括三国鼎立，西晋短期统一，十六国和东晋并立，北朝(北魏，东西魏，北齐周)和南朝(宋齐梁陈)对峙等四个阶段。这一时期，政治分裂，政局动荡，但蕴含统一，经济江南持续开发，民族出现大融合局面，对外关系丝路中断，文化具有鲜明的时代特征。 　　　 (一)、政治-封建国家分裂和长期动荡； 　　　 (二)、经济-南方的开发和北方的恢复。 　　　 1、特点：江南开发中原相对缓慢，士族和庄园经济和寺院经济发展，商品经济水平较低，各民族交流加强。 　　　 (三)、民族-民族迁徙和大融合 　　　 (四)、外交-暂时中断。 　　　 由于受这一时期国家分裂和政局动荡影响，传统的丝绸之路不太畅通，但佛教的传入出现高潮。 　　　 (五)、文化-鲜明的时代特征 　　　 这一时期，应用科技方面的数学，农学，地理取得一批成果，佛教流行，道教变成统治阶级的宗教，文学承上启下，书法，绘画和石窟艺术取得重大成就。

单元四 封建国家的繁荣(隋唐) 　　　 一、阶段特征： 　　　 本阶段讲述从公元589隋朝统一到公元907年唐朝灭亡，包括短暂的隋朝和唐朝两个历史阶段。隋朝时间虽短，历史地位十分重要，为唐朝的盛世局面奠定了基础。唐朝前期，形成封建社会繁盛局面，安史之乱后，唐朝走向衰落。这一时期，政治清明，国家统一，社会安定；封建经济全面繁荣；多民族国家得到重要发展和巩固；对外交往盛况空前；封建科技文化辉煌灿烂。 　　　 (一)、政治-封建国家统一安定； 　　　 1、隋朝完成大统一，从各个方面巩固了统一。 　　　 2、唐朝初期，贞观之治到开元盛世，行程了封建社会的盛世局面。 　　　 3、隋唐从政治，经济，军事上开创和完善了封建制度，包括三省六部，科举制，租庸调制和两税法，府兵制和募兵制。 　　　 (二)、经济-封建经济全面繁荣。 　　　 1、原因：国家统一，交通发达，轻徭薄赋，劝课农桑，民族交流，中外交往。 　　　 2、表现：农业上经济重心南移和农产品商品化，手工业唐三彩和秘色瓷，商业的货币，市场发达，城市四大都市兴旺。 　　　 (三)、民族-多民族国家发展巩固 　　　 1、特点：多民族国家得到进一步发展和巩固-边疆各族都获得了重要发展建立了政权；中原和边疆交流密切，促进了双方发展；中央王朝政策开明加强了管辖和联系；唐朝的疆域空前广阔。 　　　 2、中央采取开明灵活的民族政策，包括战争，管辖，册封，和亲，会盟，经济文化交流等。具体参看后表。 　　　 (四)、外交-盛况空前。 　　　 这一时期，海陆交通空前发达畅通；交往的国家地区空前广阔，交往的形式和深度空前发展，交往的影响空前深远。具体参看后表。 　　　 (五)、文化-辉煌灿烂 　　　 这一时期，应用型科技继续领先世界，唐诗辉煌灿烂，艺术多彩多姿。 　　　 二、一分为二的评价隋炀帝. 　　　 功过都相当突出. 　　　 功显著:促成南北统一;设进士科,形成科举制度;修驰道,加强和北方联系;兴修大运河加强南北联系;加强和突厥,西域等的民族联系,并派人去台湾;对外开放,和日本,中亚,西亚等交流密切. 　　　 过突出:好大喜功,奢侈腐化,暴政,繁重的兵役劳役,严刑酷罚导致隋朝灭亡. 　　　 三、封建社会盛世的出现的原因和认识. 　　　 原因:根本是生产关系和生产力适应,阶级矛盾相对缓和.具体来说,(1)经过前朝农民起义冲击,农民得到一定生产资料;(2)后继统治者进行政策调整励精图治-①经济上保证农民的生产时间和资料,包括轻徭薄赋,劝课农桑,提倡节俭等. 　　　 ②政治上革新制度,善于用人,革新吏治,反对腐败等; ③民族上,政策开明,相互交流促进民族融合; ④对外开放,兼收并蓄为我所用; 　　　 (3)国家统一,社会安定是前提.(4)其他方面,如生产工具改良,水利兴修等. 　　　 表现:国家统一,社会安定,经济繁荣,文化昌盛,民族和睦,外交开放交流.中华文明的影响不断扩大.多民族国家不断巩固. 　　　 认识:盛世的创造者是劳动人民,但统治者也参与了创造,有时候还起到关键作用;盛世的本质是生产力和生产关系相对协调;封建盛世由于封建经济和政治的内在矛盾,注定难以持久.要形成盛世,要注意协调方方面面的矛盾.

单元五 封建国家继续发展(宋元) 　　　 一、阶段特征： 　　　 本阶段讲述从公元907唐朝灭亡到公元1368年元朝灭亡，包括三个历史阶段，907年到979年是五代十国，979年北宋局部统一到1279年元朝大统一期间是两宋和辽夏金元的对峙时期，1279年到1368年是元朝的统一。 　　　 (一)、政治-分裂走向统一和中央集权强化； 　　　 1、分裂走向统一：这一时期，中国处于政治分裂时期，但逐渐走向元朝的大统一，而且统一的范围和深度远超秦朝和隋朝。元朝对边疆的管辖达到空前水平，特别是对西藏和台湾的有效管辖。 　　　 2、中央集权强化：北宋从中央到地方采取分权和收权的方法强化了中央集权，基本防止了篡权和割据的政治现象；元朝形成中书省和行中书省制度，对后代影响至今。 　　　 3、改革变法：一种是汉族政权挽救统治危机的改革，包括范仲淹的改革和王安石变法啊；一种是少数民族采取的封建化和汉化改革，例如阿保机，元昊，完颜阿骨打和忽必烈的改革。 　　　 (二)、经济-封建经济高度繁荣。 　　　 (三)、民族-民族大融合局面 　　　 1、多个民族争政权并立，有战有和，但以和为主，加强了交流和融合。 　　　 2、元朝大统一后，出现了民族大融合局面。 民族迁徙频繁，汉族到边疆，少族到中原；形成新的民族回族。这一时期，民族融合范围广，程度深。 　　　 3、元朝空前加强边疆的管辖，特别是西藏和台湾正式归属中央。 　　　 (四)、外交-海贸空前。 　　　 (五)、文化-高度繁荣 　　　 1、应用性的科技三大发明外传对世界文明进步起了重要作用； 　　　 2、儒学发展到理学的阶段，理是本源，气是材料，存天理灭人欲，实际为封建等级制度辩护。 　　　 3、文学突出了世俗性，宋词元曲发展。 　　　 二、正确认识和评价这一时期的民族战争和和议。　　　 　　　 民族战争:这些战争属于一个国家内部不同民族之间的战争,不能采取侵略反侵略来评判;但存在正义和非正义的区别.由于少数民族贵族南下掠夺财富,破坏经济发展,岳飞等领导的属于正义战争,符合人民利益,也符合两族人民根本利益.但不宜采用民族英雄的称号.可称抗金英雄. 　　　 民族和议: 　　　 这些议和不能认识是国与国之间的谈判,不是外交条约,是民族和约.对于两宋来说,政治上具有屈辱性,也加剧了人民经济负担,但积极意义是主要的,政治上有利于双方的和平局面,经济上有利于双方贸易交流,最终促进民族融合. 　　　 三、宋元文化繁荣的原因及四大发明对中西的不同影响 　　　 (1)宋元时期，由于各民族经济文化交流更加频繁，封建经济继续发展，在继承前一时期发达的科学技术成就技术上，各族人民辛勤劳动，创造出许多领先世界的文化成就，三大发明是其中最突出的成就。(2)马克思精辟地评价了中国三大发明：火药，指南针，印刷术，这是预告资产阶级社会到来的三大发明。火药把骑士阶层炸得粉碎，指南针打开了世界市场并建立了殖民地，而印刷术则变成了新教的工具，总的来说变成科学复兴的手段，变成对精神发展创造必要前提的最强大杠杠。这就从深层次上揭示了三大发明给欧洲历史进程带来的巨大影响。(3)指南针的发明促进了我国宋元时期海外贸易的发展，增加了政府收入，传到欧洲后为欧洲航海家发现美洲和实现环球航行提供了条件。火药在中国不仅没能轰塌封建专制制度，反而成为娱乐的烟花爆竹，成为宋元时期民族战争的武器。火药传入欧洲后成为消除欧洲各地封建割据的有力武器，西方殖民者用大炮打开中国大门，使中国沦为半殖民地。印刷术对于中国社会文明的保存和传播起到了划时代作用，对欧洲科学文化的普及起到了巨大推动作用。　　

　 单元六 封建国家的衰落和多民族国家空前巩固 　　　 (明清(鸦战前)) 　　　 一、阶段特征： 　　　 本阶段讲述从公元1368年明朝建立到1840年鸦片战争，此阶段是封建社会的衰落时期，但多民族国家得到空前的巩固。 　　　 (一)、政治-国家统一空前巩固和君主专制空前强化： 　　　 1、统一空前巩固：清朝前期，采取多种手段加强对边疆的管辖，国家统一空前强化。 　　　 2、君主专制制度空前强化，明朝废宰相归六部，五军都督府和兵部牵制，设特务机关，地方设三司，完善大明律；清朝设军机处，君主专制达到顶峰。 　　　 (二)、经济-赋税定型和资本主义萌芽 　　　 1、一条鞭法和摊丁入亩完成了封建社会的赋税定型，有利于人身松弛，刺激了商品经济和资本主义萌芽，刺激了人口增长。 　　　 2、农工商业超过前代，农业高产作物和商品化提高，手工业出现资本主义萌芽，商业远超前代。 　　　 3、资本主义萌芽出现，受到腐朽封建制度的阻碍，始终难以壮大。 　　　 (三)、民族-多民族国家空前巩固 　　　 1、明朝管辖东北，西藏，台湾，对瓦剌和鞑靼战争，防御和册封相结合。 　　　 2、清朝多民族国家空前巩固，对边疆管辖空前加强，平乱，设机构，册封，改土归流等加强对了西北，西藏，西南，台湾，东北的管辖。 　　　 3、清朝疆域辽阔，西跨葱岭，西北达巴尔喀什湖，北接西伯利亚，东北到外兴安岭和库页岛，东临太平洋，东南到台湾及其附属钓鱼岛，赤尾屿，南包南海诸岛。 　　　 (四)、外交-开放到锁国和捍卫国家主权 　　　 1、由开放到闭关：郑和下西洋是中国外交和航海史上空前壮举，但并未促进中国文明的继续壮大，反而日益衰落；清朝实行闭关政策，错过了历史发展的机遇。 　　　 (五)、文化-承古萌新 　　　 1、总结性应用性的科技著作，和庞大的古典类书丛书是对古典科技文化的总结。 　　　 2、早期启蒙色彩的思想家，反封建的市民文学，西学东渐体现这一时代新的曙光。 　　　 二、历代专制主义中央集权制度,注重分权牵制,结合相关史实加以说明.并指出这种分权和西方三权分立的区别。　　　 　　　 中央:秦中央分三公九卿,汉分内外朝,隋唐将宰相分为三省,下设六部,宋分割禁军,和枢密院牵制,分割宰相三方面;明废除宰相权归六部,兵部和都督府分割兵权. 　　　 地方:宋朝对地方设通判,转运使,司法牵制分割;明朝对地方设三司分管牵制,清朝设督抚互相牵制. 　　　 区别: 中国分权都在皇权独裁下是加强专制的工具;西方分权则真正独立,制约平衡,是削弱专制,实现资产阶级民主的保障.一个中心,两对矛盾(皇相,央地) ,六方面趋势(分割中央加强皇权,分割地方加强中央,完善强化选官,完善加强监察,完善严密法律.加强对人民思想控制.),六个发展阶段(秦建,汉巩,隋唐完善,宋元强化,明清顶峰,近代终结.),两方面评价(积极消极-统一,稳定,经济发展,民族融合,领先持续;消极阻碍资芽,暴政,摧残进步思想,不利科技发展.)

10．( 2005福建)如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小；

(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.

分析：本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力.

解法一：

(Ⅰ)平面ACE.　 .

∵二面角D-AB-E为直二面角，且， 平面ABE.

(Ⅱ)连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，

∴BG⊥AC，BG=，平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.

是二面角B-AC-E的平面角.

由(Ⅰ)AE⊥平面BCE， 又，

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又直角

，

∴二面角B-AC-E等于

(Ⅲ)过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h，

平面BCE，

∴点D到平面ACE的距离为

9．(2004天津) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(Ⅰ)证明PA//平面EDB；

(Ⅱ)证明PB⊥平面EFD；

(Ⅲ)求二面角C-PB-D的大小.　　　　　

(1)证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点

在中，EO是中位线，∴PA // EO

而平面EDB且平面EDB，

所以，PA // 平面EDB

(2)证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，

∴　 ∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴.　　　　　　　 　　　　　①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC.

而平面PDC，∴.　　 ②

由①和②推得平面PBC.

而平面PBC，∴

又且，

所以PB⊥平面EFD.

(3)解：由(2)知，，故是二面角C-PB-D的平面角.

由(2)知，.

设正方形ABCD的边长为a，则

,

，

，.

在中，

.

在中，

,

∴，二面角C-PB-D的大小为.

8．已知矩形ABCD中,AB=1, BC=(>0),PA⊥面ABCD,PA=1

(1)问BC边上是否存在一点Q，使得PQ⊥QD并且说明理由

(2)若BC边上有且只有一个点Q使得PQ⊥QD，求这时二面角Q-PD-A大小

解：(1) a=2时只有一点；a＞2时有两点；a＜2时没有点；

(2)arctan

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90^ο ，E为C₁C的中点 ，F

是BB₁上是BF=BB₁，AC=AA₁=2,求平面EFA与面ABC所成角的大小

答案： arctan

5. ;　　　　　　 6.[0°，90°]；

提示:3. l⊥平面PAB于C,PC是ΔPAB外接圆直径，用余、正弦定理.

[解答题]

6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α+β的范围是_____．

◆答案提示：　 1-3. BCB;　　 4. a⊥b;