3.知道沉淀溶解平衡在生产、生活中的应用(沉淀的生成和分步沉淀,沉淀的溶解和转化)。
知识梳理
2.知道沉淀转化的本质。
1.知道难溶物在水中的溶解情况及沉淀溶解平衡的建立过程,能描述沉淀溶解平衡。
已知角θ的终边上一点P的坐标是(x,–2)(x≠0),且,求sinθ和tanθ的值.
分析:,又,即rx=3x
由于x≠0,∴r=3 ∴x2+4=9 x2=5,x=±.
当x=时,P点的坐标是(,-2).
当x=-时,P点的坐标是(-,-2)
.
答案:当x=时,
当x=–时,
2.角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0),求sin+2cos的值.
解:依题意得:x=5a,y=-12a,
∴
(1)当a>0时,角α是第四象限角,则
,
∴sin+2cos=-;
(2)当a<0时,角是第二象限角,则
.
∴cos+2cos=.
1.若点P(-3,y)是角α终边上一点,且,则y的值是 .答案:
例1 已知角的终边经过点P(2,-3)(如图),求的六个三角函数值.
解:∵x=2,y=-3
∴
于是
例2求下列各角的六个三角函数值.
(1)0 (2)π (3) (4)
解:(1)因为当=0时,x=r,y=0,所以
sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在
sec0=1 csc0不存在
(2)因为当=π时,x=-r,y=0,所以
sinπ=0 cosπ=-1 tanπ=0 cotπ不存在
secπ=-1 cscπ不存在
(3)因为当时,x=0,y=-r,所以
不存在
不存在
(4)当a=时 ,所以
sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0
sec不存在 csc=1
例3填表:
a |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
150° |
180° |
270° |
360° |
弧度 |
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例4 ⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值
⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值
解:⑴由定义 : sina=- cosa= ∴2sina+cosa=-
⑵若 则sina=- cosa= ∴2sina+cosa=-
若 则sina= cosa=- ∴2sina+cosa=
例5 求函数的值域
解: 定义域:cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上
当x是第Ⅰ象限角时, cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
当x是第Ⅱ象限角时,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2
当x是第Ⅲ象限角时, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0
当x是第Ⅳ象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0
4.注意:
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与x轴的非负半轴重合.
(2)OP是角的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚,也只有这样,才能说明角是任意的.
(3)sin是个整体符号,不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.
(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数,并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外),即函数的定义与的终边位置无关.
(5)比值只与角的大小有关.
(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
任意角的三角函数就包含锐角三角函数,实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离,余弦函数值是横坐标比距离, 正切函数值是纵坐标比横坐标,余切函数值是横坐标比纵坐标,正割函数值是距离比横坐标,余割函数值是距离比纵坐标.
(7)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与x轴的非负半轴重合,利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.
3.突出探究的几个问题:
①角是“任意角”,当b=2kp+a(kÎZ)时,b与a的同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等
②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④而x,y的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定.
⑤定义域:对于正弦函数,因为r>0,所以恒有意义,即取任意实数,恒有意义,也就是说sin恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数,因为x=0时,无意义,即tan无意义,又当且仅当角的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tan恒有意义,所以正切函数的定义域是.从而有
2.比值叫做的正弦 记作:
比值叫做的余弦 记作:
比值叫做的正切 记作:
比值叫做的余切 记作:
比值叫做的正割 记作:
比值叫做的余割 记作:
根据相似三角形的知识,对于终边不在坐标轴上确定的角,上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时,即时,终边上任意一点P的横坐标x都为0,所以tan、sec无意义;当角的终边在横轴上时,即=kπ(k∈Z)时,终边上任意一点P的纵坐标y都为0,所以cot、csc无意义,除此之外,对于确定的角,上面的六个比值都是惟一确定的实数,这就是说,正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
以上六种函数,统称为三角函数.
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