12.(2005江苏18)如图所示,三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上,现给中间的小球B一个水平初速度v0,方向与绳垂直,小球相互碰撞时无机械能损失,轻绳不可伸长.求：　

(1)当小球A、C第一次相碰时,小球B的速度；

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度；　

(3)运动过程中小球A的最大动能EkA和此时两根绳的夹角θ；

(4)当三个小球处在同一直线上时,绳中的拉力F的大小.　

答案　 (1)v0　　 (2)-v0　　　 (3)90°　 (4)m　

解析　 (1)设小球A、C第一次相碰时,小球B的速度为vB,考虑到对称性及绳的不可伸长特性,小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为vB.由动量守恒定律,得mv0=3mvB

由此解得vB=v0　

(2)当三个小球再次处在同一直线上时,则由动量守恒定律和机械能守恒定律,得　

mv0=mvB+2mvA

mv02=mvB2+2×mvA2

解得vB=-v0,vA=v0(三球再次处于同一直线)　

vB=v0,vA=0(初始状态,舍去)

所以三个小球再次处在同一直线上时,小球B的速度为　

vB=-v0(负号表明与初速度方向相反)　

(3)当小球A的动能最大时,小球B的速度为零.设此时小球A、C的速度大小为u,两根绳间夹角为θ,则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律,得：

mv0=2musin

mv02=2×mu2　

另外,EkA=mu2

由此解得,小球A的最大动能为：　

EkA=mv02　

此时两根绳间夹角为θ=90°　

(4)小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动,当三个小球处在同一直线上时,以小球B为参考系(小球B的加速度为零,为惯性参考系),小球A、C相对小球B的速度均为：　

v=|vA-vB|=v0　

所以,此时绳中拉力大小为：F=m=m　

题组三

11.(05全国理综Ⅱ25)如图所示,一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水

平位置)从A点由静止出发绕O点下摆,当摆到最低点B时,女演员在极短时间内将

男演员沿水平方向推出,然后自己刚好能回到高处A.求男演员落地点C与O点的水

平距离s.已知男演员质量m1和女演员质量m2之比=2,秋千的质量不计,秋千的摆长为R,C点比O点低5R.　 答案　 8 R

解析　 设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为v0,由机械能守恒定律得

(m1+m2)gR=(m1+m2)v02　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　

设刚分离时男演员速度大小为v1,方向与v0相同;女演员速度大小为v2,方向与v0相反,由动量守恒得(m1+m2)v0=m1v1-m2v2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　

分离后,男演员做平抛运动,设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t,根据题给条件,由运动学规律　

4R=gt2　　　 ③　　　　

s=v1t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ④　

分离后,女演员恰回到A点,由机械能守恒定律　

m2gR=m2v22　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　

已知m1=2m2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　

由以上各式得：s=8 R　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦　

10.(05天津理综24)如图所示，质量mA为4.0 kg的木板A放在水平面C上，

　 木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量mB为1.0 kg的

　 小物块B(视为质点)，它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的12 N·s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能EKA为8.0 J，小物块的动能EKB为0.50 J，重力加速度取10 m/s2，求：

(1)瞬时冲量作用结束时木板的速度v0；　

(2)木板的长度L.　

答案　 (1)3.0 m/s　 (2)0.50 m?

解析(1)设水平向右为正方向，有　

I=mAv0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

代入数据解得

v0=3.0 m/s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

(2)设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为FAB、FBA和FCA，B在A上滑行的时间为t，B离开A时A和B的速度分别为vA和vB，有

-(FBA+FCA)t=mAvA-mAv0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

FABt=mBvB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 ④　

其中FAB=FBA

FCA=μ(mA+mb)g　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

设A、B相对于C的位移大小分别为SA和SB,

有-(FBA+FCA)SA=mAvA2-mAv02　　　　　　　　　　　 ⑥　

FABSB=EKB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

动量与动能之间的关系为　

mAvA=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

mBvB=　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ⑨　

木板A的长度

L=sA-sB　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　 ⑩　

代入数据解得　

L=0.50 m

9.(2006重庆理综25)如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内.小球

A、B质量分别为m、βm(β为待定系数).A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨

道下滑,与静止于轨道最低点的B球相撞,碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R,

碰撞中无机械能损失.重力加速度为g.试求:

(1)待定系数β;　

(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度,并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度.

答案　 (1)β=3　　 (2)A:v1=-,方向向左;B:v2=,方向向右；4.5 mg,方向竖直向下

(3)A:V1=-, B:V2=0.当n为奇数时,小球A、B第n次碰撞结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同.

当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.

解析　　 (1)由mgR=+得β=3　

(2)设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2,则　

mv12=

βmv22=　

设向右为正、向左为负,得　

v1=-,方向向左　

v2=,方向向右　

设轨道对B球的支持力为N,B球对轨道的压力为N′,方向竖直向上为正、向下为负，

则N-βmg=βm

N′=-N=-4.5 mg,方向竖直向下

(3)设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2,则

解得V1=- ,V2=0　

(另一组解:V1=-v1,V2=-v2不合题意,舍去)　

由此可得:　

当n为奇数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同;当n为偶数时,小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同.　

8.(2006江苏17)如图所示，质量均为m的A、B两个弹性小球，用长为2l的不可

伸长的轻绳连接.现把A、B 两球置于距地面高H处(H足够大)，间距为l，当A球

自由下落的同时，将B球以速度v0指向A球水平抛出，求：　

(1)两球从开始运动到相碰，A球下落的高度；

(2)A、B两球碰撞(碰撞时无机械能损失)后，各自速度的水平分量；　

(3)轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小.　

答案　　 (1) 　　(2)v0　　 0　　 (3)

解析　 (1)设A球下落的高度为h

l=v0t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

h=gt2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②得h=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)由水平方向动量守恒得

mv0=mvAx′+mvBx′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由机械能守恒得

m(v02+vBy2)+ mvAy2=m(vAx′2+vAy′2)+ m(vBx′2+vBy′2)　　　　　　　　　　　　　 ⑤

式中vAy′=vAyvBy′=vBy

联立④⑤得vAx′=v0,vBx′=0

(3)由水平方向动量守恒得

mv0=2mvBx″

则I=mv0-mvBx″=

7.(06上海21)质量为10 kg的物体在F=200 N的水平推力作用下,从粗糙斜面的底端由

静止开始沿斜面运动,斜面固定不动,与水平地面的夹角θ=37°.力F作用2秒钟后撤

去,物体在斜面上继续上滑了1.25秒钟后,速度减为零.求:物体与斜面间的动摩擦因数μ和物体的总位移s.(已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10　 m/s2)

答案　 0.25　 16.25 m?

解析　 设力F作用时物体沿斜面上升加速度为a1，撤去力F后其加速度变为a2,则：

a1t1=a2t2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

有力F作用时,物体受力为:重力mg、推力F、支持力N1、摩擦力f1

在沿斜面方向上,由牛顿第二定律可得:

Fcosθ-mgsinθ-f1=ma1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

f1=μN1=μ(mgcosθ+Fsinθ)　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

撤去力F后,物体受重力mg支持力N2、摩擦力f2,在沿斜面方向上,由牛顿第二定律得:

mgsinθ+f2=ma2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

f2=μN2=μmgcosθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

联立①②③④⑤式,代入数据得：

a2=8 m/s2　　 a1=5 m/s2　　　　　　 μ=0.25

物体运动的总位移

s=a1t12+a2t22=(522+81.252) m=16.25 m

6．(07宁夏理综23)倾斜雪道的长为25 m,顶端高为15 m,下端经过一小段圆弧过渡

后与很长的水平雪道相接.如图所示,一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v0=

8 m/s飞出.在落到倾斜雪道上时,运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起,除缓冲过程外运动员可视为质点,过渡圆弧光滑,其长度可忽略.设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ=0.2,求运动员在水平雪道上滑行的距离(取g=10 m/s2).

答案　 74.8 m?　

解析　 如图选坐标,斜面的方程为　

y=xtanθ=x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

运动员飞出后做平抛运动　

x=v0t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

y=gt2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

联立①②③式,得飞行时间

t=1.2 s　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

落点的x坐标　

x1=v0t=9.6 m?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

落点离斜面顶端的距离　

s1==12 m?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

落点距地面的高度　

h1=(L-s1)sinθ=7.8 m?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑦

接触斜面前的x方向的分速度vx=8 m/s?　

y方向的分速度vy=gt=12 m/s

沿斜面的速度大小为　

v=vxcosθ+vysinθ=13.6 m/s?　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

设运动员在水平雪道上运动的距离为s2,由功能关系得

mgh1+mv2=μmgcosθ(L-s1)+μmgs2　　　　　　　　　　　 ⑨

解得s2=74.84 m≈74.8 m?　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑩

5.(07全国卷II 24)用放射源钋的α射线轰击铍时,能发射出一种穿透力极强的中性射线,这就是所谓铍“辐射”.1932年,查德威克用铍“辐射”分别照射(轰击)氢和氮(它们可视为处于静止状态),测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为7.0.查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的,从而通过上述实验在历史上首次发现了中子.假定铍“辐射”中的中性粒子与氢或氮发生弹性正碰,试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量.(质量用原子质量单位u表示,1 u等于一个12C原子质量的十二分之一.取氢核和氮核的质量分别为1.0 u和14 u.)

答案　 1.2 u

解析　 设构成铍“辐射”的中性粒子的质量和速度分别为m和v,氢核的质量为mH.构成铍“辐射”的中性粒子与氢核发生弹性正碰,碰后两粒子的速度分别为v′和vH′.由动量守恒与能量守恒定律得:

mv=mv′+mHvH′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

mv2=mv′2+mHvH′2　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　 ②

解得vH?′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

同理,对于质量为mN的氮核,其碰后速度为

vN′=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由③④式可得

m=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

根据题意可知

vH′=7.0vN′　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

将上式与题给数据代入⑤式得

m=1.2 u

4.(04上海8)滑块以速率v1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动,当它回到出发点时速率变为v2,且v2＜v1,若滑块向上运动的位移中点为A,取斜面底端重力势能为零,则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.上升时机械能减小,下降时机械能增大　　　　　　　　　　　　 B.上升时机械能减小,下降时机械能也减小　

?C.上升过程中动能和势能相等的位置在A点上方　　　　　　 D.上升过程中动能和势能相等的位置在A点下方

　答案　　 BC?

解析　　 如右图所示,无论上升过程还是下降过程,摩擦力皆做负功,机械能均

减少,A错,B对.设A点的高度为h,斜面的倾角为θ,物体与斜面间动摩擦因数

为μ,整个过程由动能定理得:

mv12=2mgh+2μmgcosθ·

=2mgh+2μmghcotθ　

解得:h=　

设滑块在B点时动能与势能相等,高度为h′,则有:　

mgh′=mv12-mgh′-μmgcosθ·

解得h′=

由以上结果知,h′＞h,故C对,D错.　

3.(04天津理综21)如图所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动.两球质量关系为mB=2mA,规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6 kg·m/s,运动中两球发生碰撞,碰撞后A球的动量增量为-4 kg·m/s,则　　　　　 　 (　　 )

A.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5　

　 B.左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10　

　 C.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5　

　 D.右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10　

答案　 A

解析　 由mB=2mA,知碰前vB＜vA　

若左为A球,设碰后二者速度分别为vA′,vB′

由题意知 pA′=mAvA′=2 kg·m/s

pB′=mBvB′=10 kg·m/s

由以上各式得=,故正确选项为A.　

若右为A球,由于碰前动量都为6 kg·m/s,即都向右运动,两球不可能相碰.