9.(04全国卷Ⅱ25)柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成,气缸与活塞间有柴油与空气的混合物.在重锤与桩碰撞的过程中,通过压缩使混合物燃烧,产生高温高压气体,从而使桩向下运动,锤向上运动.现把柴油打桩机和打桩过程简化如下:
柴油打桩机重锤的质量为m,锤在桩帽以上高度为h处(如图甲所示)从静止开始沿竖直轨道自由落下,打在质量为M(包括桩帽)的钢筋混凝土桩子上.同时,柴油燃烧,产生猛烈推力,锤和桩分离,这一过程的时间极短.随后,桩在泥土中向下移动一距离l.已知锤反跳后到达最高点时,锤与已停下的桩帽之间的距离也为h(如图乙所示).已知m=1.0×103 kg,M=2.0×103 kg,h=2.0 m,l=0.20 m,重力加速度g取10 m/s2,混合物的质量不计.设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F是恒力,求此力的大小.
答案 2.1×100 N
解析 锤自由下落,碰桩前速度v1向下
v 1= ①
碰后,已知锤上升高度为(h-l),故刚碰后向上的速度为
v2= ②
设碰后桩的速度为v,方向向下,由动量守恒定律得
mv1=Mv-mv2 ③
桩下降的过程中,根据功能关系
Mv2+Mgl=Fl ④
由①②③④式得
F=Mg+ ()[2h-l+2] ⑤
代入数值,得 F=2.1×105 N ⑥
8.(04江苏18)一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上,一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上.狗向雪橇的正后方跳下,随后又追赶并向前跳上雪橇;其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇,狗与雪橇始终沿一条直线运动.若狗跳离雪橇时雪橇的速度为v,则此时狗相对于地面的速度为v+u(其中u为狗相对于雪橇的速度,v+u为代数和.若以雪橇运动的方向为正方向,则v为正值,u为负值).设狗总以速度v′追赶和跳上雪橇,雪橇与雪地间的摩擦忽略不计.已知v′的大小为5 m/s,u的大小为4 m/s,M=30 kg,m=10 kg.?
(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小;
(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数;
(供使用但不一定用到的对数值:lg2=0.301,lg3=0.477)
答案 (1)2 m/s (2)5.625 m/s 3次
解析 (1)设雪橇运动的方向为正方向,狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为v1,根据动量守恒定律,有
Mv1+m(v1+u)=0
狗第1次跳上雪橇时,雪橇与狗的共同速度v1′满足
Mv1+mv′=(M+m)v1′
可解得v1′=
将u=-4 m/s,v′=5 m/s,M=30 kg,m=10 kg代入,得v1′=2 m/s.
(2)解法一 设雪橇运动的方向为正方向,狗第(n-1)次跳下雪橇后雪橇的速度为vn-1,则狗第(n-1)次跳上雪橇后的速度v(n-1)′满足
Mvn-1+mv′=(M+m)v(n-1)′
这样,狗n次跳下雪橇后,雪橇的速度vn满足
Mvn+m(vn+u)=(M+m)v(n-1)′
解得 vn=(v′-u)[1-()n-1]- ()n-1
狗追不上雪橇的条件是vn≥v′
可化为()n-1≤
最后可求得n≥1+
代入n≥3.41
狗最多能跳上雪橇3次
雪橇的最终速度大小为v4=5.625 m/s.
解法二 设雪橇的运动方向为正方向,狗第i次跳下雪橇后,雪橇的速度为vi,狗的速度为vi+u;狗第i次跳上雪橇后,雪橇和狗的共同速度为vi′,由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇 Mv1+m(v1+u)=0 v1=-=1 m/s?
第一次跳上雪橇 Mv1+mv′=(M+m)v1′
第二次跳下雪橇(M+m)v1′=Mv2+m(v2+u) v2==3 m/s?
第二次跳上雪橇 Mv2+mv′=(M+m)v2′ v2′=
第三次跳下雪橇 (M+m)v2′=Mv3+m(v3+u) v3=
第三次跳上雪橇 Mv3+mv′=(M+m)v3′ v3′=
第四次跳下雪橇 (M+m)v3′=Mv4+m(v4+u) v0==5.625 m/s?
此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度,狗将不可能追上雪橇.因此,狗最多能跳上雪橇3次,雪橇最终的速
度大小为5.625 m/s.
4.0 m/s沿木板向前滑动,直到和挡板相碰.碰撞后,小物块恰好回到a端而不脱离木板.求碰撞过程中损失的机械能.
答案 2.4 J?
解析 设木板和物块最后共同速度为v,由动量守恒定律mv0=(m+M)v
设全过程损失的机械能为E
E=mv02-(m+M)v2
用s1表示物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移,W1表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功,用W2表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用s2表示从碰撞后瞬间到物块回到a端时木板的位移,W3表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功,用W4表示同样时间内摩擦力对物块所做的功.用W表示在全过程中摩擦力做的总功,则
W1=μmgs1,W2=-μmg(s1+s),W3=-μmgs2
W4=μmg(s2-s)
W=W1+W+W3+W4
用E1表示在碰撞过程中损失的机械能,则E1=E-W
由上列各式解得E1=·v02-2μmgs
代入数据得E1=2.4 J?
7.(04全国卷Ⅲ 25)如图,长木板ab的b端固定一挡板,木板连同挡板的质量为
M=4.0 kg,a、b间距离s=2.0 m.木板位于光滑水平面上.在木板a端有一小物
块,其质量m=1.0 kg,小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10,它们都处于静止状态.现令小物块以初速度v0=
6.(2004·广东·17)如图所示,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块B相连,B静止在水平直导轨上,弹簧处在原长状态.另一质量与B相同的滑块A,从导轨上的P点以某一初速度向B滑行.当A滑过距离l1时,与B相碰,碰撞时间极短,碰后A、B紧贴在一起运动,但互不粘连.已知最后A恰好
返回到出发点P并停止.滑块A和B与导轨的动摩擦因数都为μ,运动过
程中弹簧最大形变量为l2,重力加速度为g.求A从P点出发时的初速度v0.
答案
解析 令A、B质量皆为m,A刚接触B时速度为v1(碰前),由功能关系有:
mv02-mv12=μmgl1 ①
A、B碰撞过程中动量守恒,令碰后A、B共同运动的速度为v2,有
mv1=2mv2 ②
碰后,A、B先一起向左运动,接着A、B一起被弹回,当弹簧恢复到原长时,设A、B的共同速度为v3,在这过程中,弹簧势能始末两态都为零,利用功能关系,有
×2mv22-×2mv32=2m×2l2μg ③
此后A、B开始分离,A单独向右滑到P点停下,由功能关系有
mv32=μmgl1 ④
由以上①②③④式,解得v0=
5.(04全国卷Ⅳ25)如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C.重物A(视为质点)位于B的右端,A、B、C的质量相等.现A和B以同一速度滑向静止的C,B与C发生正碰.碰后B和C粘在一起运动,A在C上滑行,A与C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.试问:
B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间,C所走过的距离是C板长
度的多少倍?
答案 倍
解析 设A、B、C的质量均为m.碰撞前,A与B的共同速度为v0,碰撞后B与C的共同速度为v1。对B、C,由动量守恒定律得 mv0=2mv1 ①
设A滑至C的右端时,三者的共同速度为v2.对A、B、C,由动量守恒定律得
2mv0=3mv1 ②
设A与C的动摩擦因数为μ,从发生碰撞到A移至C的右端时C所走过的距离为S.对B、C由功能关系
μ(2m)gs=(2m)v22-(2m)v12 ③
Μmg(s+l)= mv02-mv22 ④
由以上各式解得=
4.(04上海21)滑雪者从A点由静止沿斜面滑下,经一平台后水平飞离B点,
地面上紧靠平台有一个水平台阶,空间几何尺度如图所示.斜面、平台与滑雪
板之间的动摩擦因数均为μ.假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方
向运动,且速度大小不变.求:
(1)滑雪者离开B点时的速度大小;
(2)滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s.
答案 (1)
(2)当H-μL<2h时,s=当H-μL>2h时,s=2
解析 (1)设滑雪者质量为m,斜面与水平面间的夹角为θ,滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功W=μmgs?cosθ+μmg(L-scosθ)=μmgL
由动能定理mg(H-h)-μmgL=mv2
离开B点时的速度v=
(2)设滑雪者离开B点后落在台阶上=gt12,s1=vt1<h
可解得s1=<h
此时必须满足H-μL<2h.
当H-μL>2h时,滑雪者直接落到地面上.h=gt22,s=vt2
可解得s=2
3.(04广东14)一质量为m的小球,以初速度v0沿水平方向射出,恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上,并立即沿反方向弹回.已知反弹速度的大小是入射速度大小的,求在碰撞过程中斜面对小球的冲量大小.
答案
解析 令小球与斜面相碰时速度大小为v,由题意可知,碰后的速度大小为v,因小球与斜面垂直相碰撞,后被反弹回,则碰撞中斜面对小球的冲量大小为I,(设定反弹回的速度方向为正)由动量定理得:
I=Δp=m×v-(-mv)=
又因小球水平的初速度为v0,由右图可得:v==2v0
所以碰撞中斜面对小球的冲量大小为:I==
2.(05北京春招24)下雪天,卡车在笔直的高速公路上匀速行驶.司机突然发现前方停着一辆故障车,他将刹车踩到底,车轮被抱死,但卡车仍向前滑行,并撞上故障车,且推着它共同滑行了一段距离l后停下.事故发生后,经测量,卡车刹车时与故障车距离为L,撞车后共同滑行的距离l=L.假定两车轮胎与雪地之间的动摩擦因数相同.已知卡车质量M为故障车质量m的4倍.
(1)设卡车与故障车相撞前的速度为v1,两车相撞后的速度变为v2,求;
(2)卡车司机至少在距故障车多远处采取同样的紧急刹车措施,事故才能免于发生.
答案 (1) (2) L
解析 (1)由碰撞过程动量守恒知
Mv1=(M+m)v2 TH①
则
(2)设卡车刹车前速度为v0,轮胎与雪地之间的动摩擦因数为μ,两车相撞前卡车动能变化
Mv02-Mv12=μMgL ②
碰撞后两车共同向前滑动到最后静止,动能变化
(M+m)v22-0=μ(M+m)gl ③
由②式得v02-v12=2μgL
由③式得v22=2μgl
又因l=L,得v02=3μgL
如果卡车滑到故障车前刚好停止,由
Mv02-0=μMgL′ ④
故L′=L
这意味着卡车司机在距故障车至少L处紧急刹车,事故就能够免于发生.
1.(05广东18) 如图所示,两个完全相同的质量为m的木板A、B置
于水平地面上,它们的间距s=2.88 m.质量为2m、大小可忽略的物
块C置于A板的左端.C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22,A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力.开始时,三个物体处于静止状态.现给C施加一个水平向右,大小为mg的恒力F,假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起.要使C最终不脱离木板,每块木板的长度至少应为多少?
答案 0.3 m?
解析 设A、C之间的滑动摩擦力大小为f1,A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2
∵μ1=0.22,μ2=0.10
∴F=mg<f1=2μ1mg
且F=mg>f2=μ2(2m+m)g
∴一开始A和C保持相对静止,在F的作用下向右加速运动,有
(F-f2)·s=(2m+m)v12
A、B两木板的碰撞瞬间,内力的冲量远大于外力的冲量,A、B组成的系统动量守恒,由动量守恒定律得:
mv1=(m+m)v2
碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中,设木板向前移动的位移为x1,选三个物体构成的整体为研究对象,外力之和为零,则
2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3
设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3,对A、B系统,由动能定理
f1·s1-f3·s1=·2mv32-·2mv22
f3=μ2(2m+m+m)g
对C物体,由动能定理
F·(2l+x1)-f1·(2l+x1)= ·2mv32-·2mv12
由以上各式、再代入数据可得l=0.3 m
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