3．已知集合A={1,2,3,4},B={-1,1,2},

(1)集合A到B的映射共有多少个？

(2)若集合B中的每一个元素都有原象，这样的映射共有多少个？

(3)若集合B中元素2必须要有原象，这样的映射共有多少个？

2．设集合A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射A®B，使对任意xÎA,都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f 的个数是　　　　　　

1．设f：A®B是从A到B的一个映射，其中A=B={(x,y)|xÎR,yÎR},f：(x,y)®(x+y,xy),则A中(1,-2)的象是　　 　　，B中(1,-2)的原象是　　

6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),xÎ(a,b),uÎ(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域

题型讲解

例1设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是( 　)

A8个　　 B12个　 　　　C16个　 　D18个

解：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．故选D

例2 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________

解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7)，第二步A中的元素4也有这3种对应方法由乘法原理，不同的映射种数N₁＝3×3＝9反之从B到A，道理相同，有N₂＝2×2×2＝8种不同映射

答案：9　 8

例3 　A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}从集合A到B的映射中满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有(　 )

A27　　　　 B9　　　　 C21　　　 D12

解：(1)当全是等号时，(即与B中的一个元素对应)，则f有C个;

　 (2)有一个不等号时的映射(即与B中的两个元素对应)，f有C·C=12个;

　 (3)有二个不等号的映射，f有C·C=6个

所以共有3+12+6=21个，答案选C

另一种解释法：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点

若只有一个象就让这一串整体对应有C＝3种方法；

若恰有两个象就将这一串分为两段，并按照大小顺序对应，有C·C＝12种方法；

若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有C·C＝6种方法

根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射故选C

例4 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1)f(x)=，g(x)=；

(2)f(x)=，g(x)=

(3)f(x)=，g(x)=()^2n－1(n∈N^*)；

(4)f(x)=，g(x)=；

(5)f(x)=x²－2x－1，g(t)=t²－2t－1

剖析：对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然

解：(1)由于f(x)==|x|，g(x)==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数

(2)由于函数f(x)=的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=的定义域为R，所以它们不是同一函数

(3)由于当n∈N^*时，2n±1为奇数，∴f(x)==x，g(x)=()^2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数

(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0}，而g(x)=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数

评述：(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f(x)=x²+1，f(t)=t²+1，f(u+1)=(u+1)²+1都可视为同一函数

(2)对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数

例5　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．

(1) 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；

(2)用图像表示1个细胞分裂的次数n(nÎN₊)与得到的细胞个数y之间的关系；

解：(1) 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下

(2)细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是

y＝2ⁿ，nÎN₊．

　　 变式：

一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存KB，然后每分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据MB内存(MB=KB)

例6试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是　　　　 　

解：的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如

．

点评　本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．

例7　某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量(件)之间大体满足关系：

　(其中c为小于96的正常数)

注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量．

(1)试将生产这种仪器每天的盈利额(元)表示为日产量(件)的函数；

(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？

解：(1)当时，，所以，每天的盈利额;

　　 当时，，

所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额

　　 综上，日盈利额(元)与日产量(件)的函数关系为：

　　 (2)由(1)知，当时，每天的盈利额为0．

　　 当时，．

令，则．

故

．

当且仅当，即时，等号成立．

所以(i)当时，(等号当且仅当时成立)．

　　 (ii) 当时，由得，

易证函数在上单调递增(证明过程略)．

　　 所以，．

所以，

，

即．(等号当且仅当时取得)

综上，若，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润．　　 　点评　分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．

例8 矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，(1)将的面积表示为的函数，求函数的解析式；

(2)求的最大值．

解：(1)

．

∵，∴，

∴函数的解析式：；

(2)∵在上单调递增，

∴，即的最大值为．

例9 函数对一切实数，均有成立，且，

(1)求的值；

(2)对任意的，，都有成立时，求的取值范围．

解：(1)由已知等式，

令，得，

又∵，∴．

(2)由，

令得，

由(1)知，∴．

∵，

∴在上单调递增，

∴．

要使任意，都有成立，

当时，,显然不成立．

当时，，∴，解得

∴的取值范围是．

学生练习

题组一：

1设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是

Af:x→y=|x|　　 Bf:x→y=　Cf:x→y=3^－x Df:x→y=log₂(1+|x|)

解析：指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞)，所以f是x→y=3^－x

答案：C

2设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是

解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符故选B　答案：B

3已知函数f(x)=lg，若f(a)=b，则f(－a)等于

Ab　　　 　　　 B－b　　 　　　　　　 C　　 　　　　 D－

解析：f(－a)=lg=－lg=－f(a)=－b　答案： B

4函数y=的定义域是

A［－，－1)∪(1，］　　　 B(－，－1)∪(1，)

C［－2，－1)∪(1，2］　　　　　　　 D(－2，－1)∪(1，2)

解析：－≤x＜－1或1＜x≤

∴y=的定义域为［－，－1)∪(1，］答案：A

5若函数f(x)=log_a(x+1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是［0，1］，则a等于

A 　　　　　　　　 B 　　　　　　　 C　　 　　　　　 D2

解析：f(x)=log_a(x+1)的定义域是［0，1］，

∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2

当a＞1时，0=log_a1≤log_a(x+1)≤log_a2=1，∴a=2；

当0＜a＜1时，log_a2≤log_a(x+1)≤log_a1=0，与值域是［0，1］矛盾

综上，a=2　答案：D

6设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ+n，则在映射f下，象20的原象是

A2　　　 　　　　　　 B3　　　 　　　 C4　　　 　　　　　　 D5

解析：由2ⁿ+n＝20求n，用代入法可知选C　答案：C

7某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是

A10%　　　　　　　　　 B15%　　　　　　　　　 C18%　　　　　　 D20%

解析：设降价百分率为x%，

∴2000(1－x%)²=1280解得x=20　答案：D

8设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为

A(－∞，－2］∪［0，10］　　　　　 B(－∞，－2］∪［0，1］

C(－∞，－2］∪［1，10］　　　　　 D［－2，0］∪［1，10］

解析：f(x)是分段函数，故f(x)≥1应分段求解

当x＜1时，f(x)≥1(x+1)²≥1x≤－2或x≥0，

∴x≤－2或0≤x＜1

当x≥1时，f(x)≥14－≥1≤3x≤10，

∴1≤x≤10

综上所述，x≤－2或0≤x≤10　答案：A

9已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是________

解析：x≥0时，f(x)=1，xf(x)+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；

当x＜0时，f(x)=0，xf(x)+x≤2x≤2，∴x＜0综上x≤1

答案：{x|x≤1}

10已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A，且A点的横坐标为2，则k的值等于

A－　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　 C－　　　　　　　　　 D

解析：由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=－又A(2，－)在y=kx图象上，－=k·2，∴k=－　答案：A

11如图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f(x)

(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；

(2)作出函数的图象，并根据图象求y的最大值

解：(1)这个函数的定义域为(0，12)

当0＜x≤4时，S=f(x)=·4·x=2x；

当4＜x≤8时，S=f(x)=8；

当8＜x＜12时，S=f(x)=·4·(12－x)=2(12－x)=24－2x

∴这个函数的解析式为

f(x)=　

(2)其图形如右， 由图知，［f(x)］_max=8

12若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a⁴，a²+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B

解：∵f(1)=3×1+1=4，f(2)=3×2+1=7，f(3)=3×3+1=10，f(k)=3k+1，由映射的定义知

(1)或(2) 　

∵a∈N，∴方程组(1)无解

解方程组(2)，得a=2或a=－5(舍)，3k+1=16，3k=15，k=5

∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}

13如果函数f(x)=(x+a)³对任意x∈R都有f(1+x)=－f(1－x)，试求f(2)+ f(－2)的值

解：∵对任意x∈R，总有f(1+x)=－f(1－x)，

∴当x=0时应有f(1+0)=－f(1－0)，

即f(1)=－f(1)∴f(1)=0

又∵f(x)=(x+a)³，∴f(1)=(1+a)³

故有(1+a)³＝0a=－1∴f(x)=(x－1)³

∴f(2)+f(－2)=(2－1)³+(－2－1)³＝1³+(－3)³＝－26

14集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f:M→N的个数是多少？

解：∵f(a)∈N，f(b)∈N，f(c)∈N，且f(a)+f(b)+f(c)=0，

∴有0+0+0=0+1+(－1)=0

当f(a)=f(b)=f(c)=0时，只有一个映射；

当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C·A=6个映射因此所求的映射的个数为1+6=7

题组二：

5．分段函数：(举一例)

3．理解分段函数的意义．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．

4 克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．

5 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．

知识点归纳

函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．

函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．

1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域

2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数

3映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集

4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一

2．能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；

1．了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；

4.　 已知函数.　

① 当时，求函数的最大值和最小值；

② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.　

3.　 利用函数的单调性求函数的值域；