3、守恒定律的多种表达方式

　　 当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：

(1)，即初状态的动能和势能之和等于末状态的动能和势能之和。

(2)，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量。

(3)，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。

把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆(如图)，摆长为l 　,最大偏角为θ .小球运动到最低位置时的速度是多大？

分析：这个问题直接用牛顿第二定律和运动学的公式来处理，需要用高等数学。现在用机械能守恒定律求解。

提问：你是怎样判断这种情况下机械能守恒的？

解：选择小球在最低位置时所在的水平面为参考平面。

小球在最高点时为初状态，初状态的动能E _k1 = 0 ，

重力势能E _p1 = mg ( l -l cosθ )

机械能E_k1+E_p1=mg ( l - l cosθ )

小球在最低点时为末状态，末状态的动能 =

重力势能

末状态的机械能为.

根据机械能守恒定律有　

即　 　　　所以　 = 　.

思考：你能不能直接用牛顿第二定律和运动学的公式来处理这个问题 ？应用机械能守恒定律解题的优越性。

(1)机械能守恒定律解题的一般步骤

2.除重力或弹力外，还受其它力，但其它力不做功或其它力所做功代数和为零(如摆球的摆动)。

例1： A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，A、B组成的系统只有重力和A、B间的弹力(系统内的弹力)做功，A、B组成的系统的机械能守恒，但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒。同样对A来说，A的机械能不守恒。

说明：如果问题中只有动能和重力势能的相互转化，没有涉及到弹性势能，此时机械能守恒的条件可以表述为：只有重力做功以后遇到的问题绝大多数都是这种情形。

1.只受重力或弹力；

2.从系统做功的角度看，只有重力或弹力做功。

(4)只有重力或弹力做功与只受重力或弹力作用的含义不同。

1.从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其它形式能量之间(如内能)转化；

2、机械能守恒定律

质量为m的物体自由下落过程中，经过高度h1的A点时速度为v1，下落至高度h2的B点处速度为v2，不计空气阻力，取地面为参考平面，试写出物体在A点时的机械能和B点时的机械能，并找到这两个机械能之间的数量关系。

A点　　

B点　　

根据动能定理，有

重力做功在数值上等于物体重力势能的减少量。

由以上两式可以得到

即　　

即　　　　

可见：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。同样可以证明：在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，总的机械能也保持不变。

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。

(2)表达式：或

(3)机械能守恒条件的理解

1、动能与势能的相互转化

演示实验1：如图，用细线、小球、带有标尺的铁架台等做实验。把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能和动能相互转化。我们看到，小球可以摆到跟A点等高的C点，如图甲。如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，如图乙。问题：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？这个小实验说明了什么？学生活动：观察演示实验，思考问题，选出代表发表见解。小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用。拉力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有重力对小球能做功。

实验证明：小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化。在摆动过程中，小球总能回到原来的高度。可见，重力势能和动能的总和保持不变。即机械能保持不变。

演示实验2：如图，水平方向的弹簧振子。用弹簧振子演示动能和弹性势能的相互转化。

问题1：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？这个小实验说明了什么？

观察演示实验，思考问题。小球在往复运动过程中，竖直方向上受重力和杆的支持力作用，水平方向上受弹力作用。重力、支持力和速度方向总垂直，对小球不做功；只有弹簧的弹力对小球能做功。

实验证明：小球在往复运动过程中弹性势能和动能在不断转化。小球在往复运动过程中总能回到原来的高度，可见，弹性势能和动能的总和应该保持不变。即机械能保持不变。

总结：通过上述分析，我们得到动能和势能之间可以相互转化，那么在动能和势能的转化过程中，动能和势能的和是否真的保持不变？下面我们就来定量讨论这个问题。

　　 我们已学习了重力势能、弹性势能、动能。我们把这三种形式的能量统称为机械能。

(1)定义：物体的动能和势能之和称为物体的机械能。机械能包括动能、重力势能、弹性势能。

(2)表达式：E＝E_K+E_P

这些不同形式的能是可以相互转化的，那么在相互转化的过程中，他们的总量是否发生变化？这节课我们就来探究这方面的问题。

10．一列队伍长L= 120米，行进速度v = 4.8千米/小时，为了传达一个命令，通讯员从队伍排尾跑步赶到队伍排头，其速度 v’ = 3米/秒，然后又立即用跟队伍行进速度相同大小的速度返回排尾。求：

⑴通讯员从离开队伍到重回到排尾共用多少时间？

⑵通讯员归队处跟离队处相距多少？

课后作业:

9．一列长50m的队伍，其前进速度是2.5 m/s，经过一座全长100m桥，当队伍的第一个人踏上桥到队尾最后一个人离开桥时，总共需要的时间是多少？