3. 利用反证法

　　 例12　 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b≥0.

　　 证明 　假设a+b<0,则a<-b,b<-a,

　　 ∵　 函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,

　∴　 f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),

　　 ∴　 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,

　　 ∴　 a+b<0不成立,即a+b≥0.

　例13 　设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 证明 　假设在定义域内存在x₀,使f(x₀)≤ 0,

　∵

　　 ∴ f(x₀) >0,这与假设的f(x₀)≤ 0矛盾,

　所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0.

　　 以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.

2. 利用递推法

　例10　 设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.

　解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),

　∴　 f(x+1)=f(x+2)-f(x+3), 　

　　 将以上两式相加,得　 f(x+3)=-f(x),

　∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),

　∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.

　　 例11　 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy　

(x,y∈N₊),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.

　 　解　 令y=1,

　　 ∵　 f(1)=1,

　　 ∴ 　f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,

　　 则 f(2)-f(1)=2,

　　　 f(3)-f(2)=3,

　　　 ……

　　　 f(x)-f(x-1)=x.

　　 将以上各式相加,得　 f(x)-f(1)=2+3+4+ …+x,

　　 ∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=x(x+1)　 (x∈N₊).

　　 有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.

1. 利用赋值法

　 　例9　 函数f(x)的定义域为R,对任意x、y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=

2f(x)f(y),且f(0)≠0.

　 (1)求证:f(0)=1;　　

　 　 　 　 　 　 　 (2)求证:f(x)是偶函数;

　 (3)　　　　　　　　　　　　 　　　① 求证:对任意x∈R,有f(x+c)=

-f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.

　 　解　 (1)令x=y=0,则有2f(0)=2f²(0),

　　 ∵ f(0)≠0,

　　 ∴ f(0)=1.

　 (2)令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),

　　 ∵ 　f(0)=1,

　 　　 ∴ f(-y)=f(y),

　∴ f(x)是偶函数.

(3)① 分别用 (c≠0)替换x、y, 有f(x+c)+f(x)=2f()f().　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∵ f()=0,　　　　

　　 ∴ f(x+c)= -f(x) .

　　 ②　 由①知　 f(x+c)=-f(x),

　　 用x+c替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),

　　 ∴　 f(x)是以2c为周期的周期函数.

4. 利用对称性

　例7　 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x≠0},又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x的取值区间是　　　　　　　 .

　　 解 　依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x的取值区间是(-1,0)∪(1,+∞).

　　 例8　 定义在(-∞,+∞)上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为　　　　　　　 .

　　 解 　设F(x)=f(x+2),

　　 ∵　 F(x)为偶函数,

　　 ∴　 F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),

　　 ∴ 　函数f(x)的图象关于直线x=2对称,

　　 ∴　 f(-1)=f(5),

　　 ∵　 f(x)在(-∞,2)上是增函数,

　　 ∴　 f(x)在(2,+∞)上是减函数,

　　 ∴ 　f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).

3. 利用周期性

　 　例5 　设函数f(x)在R上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=　　　　　 .

　　 解 　由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

　　 则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,

　　 于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

　 　 　 　 　　 例6 　已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=,则 f(2007)=　　 .

　　 解 ∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ f(x)是以4为周期的周期函数,

2. 利用奇偶性

　　 例4　 已知函数f(x)=ax⁵+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.

　　 分析　 f(x)的解析式含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a、b的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax⁵+bsinx是奇函数,有g(-3)=-g(3).

　 　解　 设g(x)=ax⁵+bsinx,显然g(x)是奇函数,

　 　　 ∵ f(-3)=7,

　　 ∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7　 g(3)=-4,

　　 ∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.

　　 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路

转、化难为易.

1. 利用单调性

　 　例3　 设f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.

　　 解　 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,

　　 ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),

　　 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),

　　 ∵ 函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

　　 则

　　 ∴ 不等式解集为 {x|8<x≤9}.

　　 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.

　　 例1 　若函数f(x)与g(x)在R上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),

f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=　　 .

　　 解　 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,

　 　又f(-2)=f(1)≠0,

　　 则可取

　　 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　例2　 设函数f(x)是定义在R上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),

f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)<　　　 的解集为　　　　　 .

　　 解　 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,

　 　 　 　　 又 f(-3)=8,

　　 则可取

　　 ∵f(x)f(x-2)<　　

∴＜, 即＜，

∴ 2x-2 >8, 　解不等式,得　 x>5,

　　 ∴ 不等式的解集为　 {x|x>5}.

8.(★★★★★)The old man was once________ sing the song.

　　 A.listened to B.listening to

　　 C.listened to to D.listen to

7.(★★★★)-Have you anything________ there.

　　 -No.Thank you just the same.

　　 A.should be taken B.to be taken

　　 C.to take D.which should be taken