在进行数列二轮复习时,建议可以具体从
以下几个方面着手:
1.运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;
(二)2009年高考预测
1. 数列中与的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最为常见的题目,要切实注意与的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上,从近两年各地高考试题来看,是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、中等题,也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所在的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点,也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
7、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。
(一)方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递推关系式求通项。
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个方向。
考点一:等差、等比数列的概念与性质
例1. (2008深圳模拟)已知数列
(1)求数列的通项公式; (2)求数列
解:(1)当;、
当,
、
(2)令
当;
当
综上,
点评:本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系,特别要注意n=1时情况,在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论,体现了分类讨论的数学思想.
例2、(2008广东双合中学)已知等差数列的前n项和为,且,. 数列是等比数列,(其中).
(I)求数列和的通项公式;(II)记.
解:(I)公差为d,
则 .
设等比数列的公比为,
.
(II)
作差:
.
点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识,第二问,求前n项和的解法,要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子,体现了数学的转化思想。
考点二:求数列的通项与求和
例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:
|
按照以上排列的规律,第行()从左向右的第3个数为
解:前n-1 行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第+3个,即为.
点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
例4.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第个图形包含个“福娃迎迎”,则 ;____
解:第1个图个数:1
第2个图个数:1+3+1
第3个图个数:1+3+5+3+1
第4个图个数:1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数:1+3+5+7+9+7+5+3+1=,
所以,f(5)=41
f(2)-f(1)=4 ,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(5)-f(4)=16
点评:由特殊到一般,考查逻辑归纳能力,分析问题和解决问题的能力,本题的第二问是一个递推关系式,有时候求数列的通项公式,可以转化递推公式来求解,体现了转化与化归的数学思想。
考点三:数列与不等式的联系
例5.(2009届高三湖南益阳)已知等比数列的首项为,公比满足。又已知,,成等差数列。
(1)求数列的通项
(2)令,求证:对于任意,都有
(1)解:∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
(2)证明:∵ ,
∴
点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(2)问,采用裂项相消法法,求出数列之和,由n的范围证出不等式。
例6、(2008辽宁理) 在数列,中,a1=2,b1=4,且成等差数列,成等比数列()
(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测,的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:.
解:(Ⅰ)由条件得由此可得
.
猜测.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由上可得结论成立.
②假设当n=k时,结论成立,即
,
那么当n=k+1时,
.
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②,可知对一切正整数都成立.
(Ⅱ).
n≥2时,由(Ⅰ)知.
故
综上,原不等式成立.
点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.
例7. (2008安徽理)设数列满足为实数
(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:;
(Ⅲ)设,证明:
解: (1) 必要性 : ,
又 ,即
充分性 :设 ,对用数学归纳法证明
当时,.假设
则,且
,由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ,当时,,结论成立
当 时,
,由(1)知,所以 且
(3) 设 ,当时,,结论成立
当时,由(2)知
点评:本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意,加强训练。
考点四:数列与函数、概率等的联系
例题8.. (2008福建理) 已知函数.
(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.
(Ⅰ)证明:因为所以′(x)=x2+2x,
由点在函数y=f′(x)的图象上,
又所以
所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,
故点也在函数y=f′(x)的图象上.
(Ⅱ)解:,
由得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
x |
(-∞,-2) |
-2 |
(-2,0) |
0 |
(0,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
注意到,从而
①当,此时无极小值;
②当的极小值为,此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值.
点评:本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力.
例9 、(2007江西理)将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数
列的概率为( )
A. B. C. D.
解:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个,其中为等差数列有三类:(1)公差为0的有6个;(2)公差为1或-1的有8个;(3)公差为2或-2的有4个,共有18个,
成等差数列的概率为,选B
点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复。
考点五:数列与程序框图的联系
例10、(2009广州天河区模拟)根据如图所示的程序框图,将输出的x、y值依次分别记为;
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn};
的一个通项公式yn,并证明你的结论;
(Ⅲ)求.
解:(Ⅰ)由框图,知数列
∴
(Ⅱ)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.
由此,猜想
证明:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2
∴
∴
∴数列{yn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列。
∴+1=3·3n-1=3n
∴=3n-1()
(Ⅲ)zn=
=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)
=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-[1+3+…+(2n-1)]
记Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n,①
则3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1 ②
①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1
=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1
=2×=
∴
又1+3+…+(2n-1)=n2
∴.
点评:程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物,因为程序框图中循环,与数列的各项一一对应,所以,这方面的内容是命题的新方向,应引起重视。
2.等差数列和等比数列的比较
(1)定义:从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列;从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列.
(2)递推公式:.
(3)通项公式:.
(4)性质
等差数列的主要性质:
①单调性:时为递增数列,时为递减数列,时为常数列.
②若,则.特别地,当时,有.
③.
④成等差数列.
等比数列的主要性质:
①单调性:当或时,为递增数列;当,或时,为递减数列;当时,为摆动数列;当时,为常数列.
②若,则.特别地,若,则.
③.
④,…,当时为等比数列;当时,若为偶数,不是等比数列.若为奇数,是公比为的等比数列.
1.数列的概念及表示方法
(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.
(2)表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.
(3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列.
(4)与的关系:.
4、注意复习求线性回归方程的方法,回归分析方法,独立性检验的方法及其应用问题。
3. 注意体会解决概率应用题的思考方法,正向思考时要善于将较复杂的问题进行分解,解决有些问题时还要学会运用逆向思考的方法.
2. 复习中,对于排列组合应用题,注意从不同的角度去进行求解,以开阔思维,提高解题能力.
1. 对于一些容易混淆的概念,如排列与排列数、组合与组合数、排列与组合、二项式系数与二项展开式中各项的系数等,应注意弄清它们之间的联系与区别.
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