3、基本算法语句

　算法是计算机科学的基础，本部分要学习的算法语句，是为了将算法转换为计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序所需要的语句，其作用就是实现算法与计算机的转换．

　(1)赋值语句

　赋值语句是用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句．赋值语句的一般格式为：变量名=表达式．

　赋值语句还应注意以下几点：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；②赋值号左右不能对换；③不能利用赋值语句进行代数式(或符号)的演算(如化简、因式分解等)；④赋值号与数学中的等号的意义不同．

　(2)输入语句

　输入语句主要用来给变量输入初始数据．输入语句的一般格式是：变量=INPUT(“提示内容”)．输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式。

　(3)输出语句

　任何求解问题的算法，都要把求解的结果“输出”，这就需要有“输出语句”来控制输出．输出语句主要有PRINT语句，利用PEINT语句可以使结果在屏幕上显示出来．

　(4)条件语句

　条件语句就是处理条件分支逻辑结构的算法语句．计算机通常是按照程序中语句出现的先后顺序依次往下执行的．但有时需要根据某个给定条件是否满足而决定所要执行的语句，这是就需要条件语句．Basic语言中的条件语句主要为if语句，if语句的一般格式是：

　该语句的功能为，如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列1；如果表达式结果为假，则执行else后面的语句序列2．

　if语句的最简单的格式是：

　该语句的功能为，如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列1，否则跳过语句序列1．

　(5)循环语句

　循环语句是用来处理算法中的循环结构的程序语言．当遇到有规律的重复运算，或者在程序中需要对某些语句进行重复的执行时，需要用循环语句进行控制．Basic程序语言中常用的有两种循环语句：WHILE循环和UNTIL循环．

　WHILE循环的格式为：

UNTIL循环的格式为：

　WHILE循环结构，首先要求对条件进行判断，如果条件为真，则执行循环体部分，每次开始执行循环体前，都要判断条件是否为真．这样重复执行，一直到条件为假时，就跳过循环体部分，结束循环．

　UNTIL循环结构，首选执行循环体，再检查条件，当条件不成立时，继续执行循环体，当条件成立时，就跳过循环体部分，结束循环．

(6)辗转相除法：

求最大公约数的方法就是辗转相除法．也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的．利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

第一步：用较大的数除以较小的数得到一个商和一个余数；

第二步：若，则为的最大公约数；若，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；

第三步：若，则为的最大公约数；若，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；

……

依次计算直至，此时所得到的即为所求的最大公约数．

(7)更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术．

更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．

翻译出来为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数．

(8)秦九韶算法

应用秦九韶算法完成一般的多项式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀求值问题

f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+….+a₁x+a₀

=( a_nx^n-1+a_n-1x^n-2+….+a₁)x+a₀ =(( a_nx^n-2+a_n-1x^n-3+….+a₂)x+a₁)x+a₀

 =......=(...( a_nx+a_n-1)x+a_n-2)x+...+a₁)x+a₀

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v₁=a_nx+a_n-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v₂=v₁x+a_n-2 　　v₃=v₂x+a_n-3 　...... 　　　v_n=v_n-1x+a₀

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题

观察秦九韶算法的数学模型，计算v_k时要用到v_k-1的值，若令v₀=a_n，我们可以得到下面的递推公式：

v₀=a_n

v_k=v_k-1+a_n-k(k=1,2,…n)

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

(9)进位制

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001₍₂₎表示二进制数,34₍₅₎表示5进制数

2、程序框图

　基本的程序框有起始框，输入、输出框，处理框，判断框．其中起始框是任何流程都不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．

(1)顺序结构

　顺序结构描述的是最自然的结构，它也是最基本的结构，

其特点是：语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺

序进行，不能跳跃，不能回头，如图1表示的是顺序结构的

示意图，它的功能是：A和B两个框是依次执行的，只有在

执行完A框后，才能接着执行B框．

　(2)选择结构

　选择结构是依据指定条件选择不同的指令的控制结构．选择结构和实际问题中的分类处理与数学思想中的分类讨论思想是完全对应的．

　两种常见的选择结构如图2和图3所示．

　图2的功能是先判断P是否成立，若成立，再执行A后脱离选择结构．

　图3的功能是根据给定的条件P是否成立而选择A框或B框，特别注意，无论条件P是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行，无论执行哪条路径，在执行完A框或B框之后，脱离本选择结构．

　(3)循环结构

　循环结构就是根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构．它的特点是：从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步骤，其中反复执行的处理步骤称为循环体．

　两种常见的循环结构如图4和图5所示．

　图4的功能是先执行A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P条件不成立，再执行A，然后再对P条件作判断，如果P条件仍然不成立，又执行A，…，如此反复执行A，直到给定的P条件成立为止，此时不再执行A，脱离本循环结构(又称直到型循环)．

　图5的功能是先判断条件P是否成立，若成立，则执行A框，再判断条件P是否成立，若成立，又执行A框，…，直到不符合条件时终止循环(又称当型循环)，执行本循环结构后的下一步程序．

1．算法的特征

　(1)确定性：算法的确定性是指一个算法中每一步操作都是明确的，不能模糊或有歧义，算法执行后一定产生明确的结果；

　(2)有穷性：算法的有穷性是指一个算法必须能够在有限个步骤之内把问题解决，不能无限的执行下去；

　(3)可行性：算法的可行性是指一个算法对于某一类问题的解决都必须是有效的，切实可行的，并且能够重复使用．

5．平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变.

4．与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用

3．空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°。

2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.

1、三视图是新课标新增的内容，2007、2008年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。

(二)2009年高考预测

从近几年各地高考试题分析，立体几何题型一般是一个解答题，1至3个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．　高考试题中，立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力　.　近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题。

高考对立体几何的考查侧重以下几个方面：

　　 1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变　.　除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作--证--求”，强调作图、证明和计算相结合。

2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。

3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图--根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图--根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图--对图形进行必要的分解、组合；④会用图--对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。

(一)方法总结

1．位置关系：

(1)两条异面直线相互垂直

　证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。

(2)直线和平面相互平行

证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

(3)直线和平面垂直

证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

(4)平面和平面相互垂直

证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。

2．求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

(1)两条异面直线的距离

求法：利用公式法。

(2)点到平面的距离

求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。

3．求角

(1)两条异面直线所成的角

求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。

(2)直线和平面所成的角

求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。

(3)平面与平面所成的角

求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。