17.已知为的最小正周期, ,且.求的值
10. 已知a、b为正数,求证:
(1)若+1>,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立;
(2)若对于任何大于1的正数x,恒有ax+>b成立,则+1>.
分析:对带条件的不等式的证明,条件的利用常有两种方法:①证明过程中代入条件;②由条件变形得出要证的不等式.
证明:(1)ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2.
∵+1>(b>0),
∴(+1)2>b.从而ax+>b
(2)∵ax+>b对于大于1的实数x恒成立,即x>1时,[ax+]min>b,
而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,
当且仅当a(x-1)=,即x=1+>1时取等号.
故[ax+]min=(+1)2.
则(+1)2>b,即+1>.
评述:条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除.
[探索题](2005湖北)已知不等式, 其中n为大于2的整数,表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正,且满足
(Ⅰ)证明
(Ⅱ)试确定一个正整数N,使得当时,对任意b>0,都有
解:(Ⅰ)证法1:∵当
即
于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知,当n≥3时有,
∵
证法2:设,首先利用数学归纳法证不等式
(i)当n=3时, 由
知不等式成立.
(ii)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即
则
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(i)、(ii)知,
又由已知不等式得
(Ⅱ)∵
则有
故取N=1024,可使当n>N时,都有
9.若a>0, b>0,且=1,
求证:(I) a+b≥4;
(II) 对于一切n∈N*, (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1成立
证明:(I) =1, a+b=()(a+b)=1+++1≥4,
(II) 当n=1时, 左式=0,右式=0,∴n=1时成立.
假设n=k时成立,即(a+b)k-ak-bk≥22k-2k+1,.
则当n=k+1时,(a+b)k+1-ak+1-bk+1
=(a+b) (a+b)k-ak+1-bk+1
≥(a+b)(ak+bk+22k-2k+1) -ak+1-bk+1
=abk+bak+(a+b)(22k-2k+1)
≥2·2k+1+4·22k-4·2k+1=22k+2-2k+2,
∴n=k+1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切n∈N*都成立
8. 设,且,求证:
因为,而
所以,所以a,b为方程 (1)的二实根
而,故方程(1)有均大于c的二不等实根。
记,则
解得。
法2: 由已知得c<0, 否则,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)<1,与已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-1<0,
7.已知,求证:都属于。
[证明]由已知得:,代入中得:
∵,∴△≥0,即
解得,即y∈ 。同理可证x∈ ,z∈ 。
6. 记,则,
最大. M>1
[解答题]
6.已知不等式对n∈N+都成立,则实数M的取值范围是__________。
简答.提示:1-4.ADAB; 5. ax+ay≥2=2.
∵x-x2=-(x-)2≤,0<a<1,∴ax+ay≥2=2a.
∴loga(ax+ay)<loga2a=loga2+.即P<Q;
5. 设实数x、y满足y+x2=0,0<a<1.则P=loga(ax+ay)与Q=loga2+的大小关系是___________(填“>”“=”“<”).
4. (2005江西)已知实数a、b满足等式下列五个关系式:
①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b
其中不可能成立的关系式有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[填空题]
3.(2005天津)已知<< ,则 ( )
A.2b>2a>2c B.2a>2b>2c C.2c>2b>2a D.2c>2a>2b
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