13．已知曲线C：x²+y²－4ax+2ay－20+20a＝0.

(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

(2)当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；

(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．

(1)证明：曲线C的方程可变形为

(x²+y²－20)+(－4x+2y+20)a＝0，

由，解得，

点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．

(2)证明：原方程配方得(x－2a)²+(y+a)²＝5(a－2)²，

∵a≠2时，5(a－2)²>0，∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．

设圆心坐标为(x，y)，则有，

消去a得y＝－x，故圆心必在直线y＝－x上．

(3)解：由题意得|a－2|＝|a|，解得a＝.

12．已知圆C：x²+y²+2x－4y+3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．

解：∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，

∴切线的斜率是±1或过原点．

切线不过原点时，设切线方程为y＝－x+b或y＝x+c，分别代入圆C的方程得2x²－2(b－3)x+(b²－4b+3)＝0或2x²+2(c－1)x+(c²－4c+3)＝0，

由于相切，则方程有等根，∴Δ₁＝0，

即[2(b－3)]²－4×2×(b²－4b+3)＝－b²+2b+3＝0，

∴b＝3或－1，

Δ₂＝0，

即[2(c－1)]²－4×2×(c²－4c+3)＝－c²+6c－5＝0.

∴c＝5或1，

当切线过原点时，设切线为y＝kx，即kx－y＝0.

由＝，得k＝2±.

∴y＝(2±)x，故所求切线方程为：

x+y－3＝0，x+y+1＝0，x－y+5＝0，x－y+1＝0，y＝(2±)x.

11．(2008·湖南文)将圆x²+y²＝1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是____________；若过点(3,0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是________．

答案：(x－1)²+y²＝1　或－

解析：因为圆平移后半径不变，圆心变化，所以圆心(0,0)向右平移1个单位后得到点(1,0)，即平移后的圆心C.所以圆C的方程为(x－1)²+y²＝1.

设l的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.

则＝1，∴k＝±.

10．(2008·福建)若直线3x+4y+m＝0与圆(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是________．

答案：(－∞，0)∪(10，+∞)

解析：把圆的参数方程化成普通方程为

(x－1)²+(y+2)²＝1，

由已知直线与圆相离，

∴>1，

解得m<0或m>10，故填(－∞，0)∪(10，+∞)．

9．(2009·朝阳4月)已知动直线l平分圆C：(x－2)²+(y－1)²＝1，则直线l与圆O：(θ为参数)的位置关系是________．

答案：相交

解析：动直线l平分圆C：(x－2)²+(y－1)²＝1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：即x²+y²＝9，且2²+1²<9，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交．

8．(2009·湖北荆州质检二·8)已知直线x+y+m＝0与圆x²+y²＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|+|≥||，那么实数m的取值范围是(　)

A．(－2，－]∪[，2)　 　　　　　　　　　　　 B．(－2,2)

C．[－，] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(－2，]

答案：A

解析：由|+|≥＝|－|得|+|²≥|－|²，·≥0,0<∠AOB≤，三角形AOB为等腰直角三角形或顶角为锐角的等腰三角形，圆心到直线的距离1≤d<，1≤<，那么实数m的取值范围是(－2，－]∪[，2)．故选A.

7．(2009·河南实验中学3月)若直线l：ax+by＝1与圆C：x²+y²＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是(　)

A．点在圆上　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．点在圆内

C．点在圆外　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．不能确定

答案：C

解析：直线l：ax+by＝1与圆C：x²+y²＝1有两个不同交点，则<1，a²+b²>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.

6．(2009·安阳)已知直线x+y＝a与圆x²+y²＝4交于A、B两点，且|+|＝|－|，其中O为原点，则实数a的值为(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－2

C．2或－2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.或－

答案：C

解析：由|+|＝|－|得|+|²＝|－|²，·＝0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，＝，a＝±2，故选C.

5．(2009·西城4月)与直线x－y－4＝0和圆x²+y²+2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　)

A．(x+1)²+(y+1)²＝2　 　　　　　　　　　　　　 B．(x+1)²+(y+1)²＝4

C．(x－1)²+(y+1)²＝2　 　　　　　　　　　　　　 D．(x－1)²+(y+1)＝4

答案：C

解析：圆x²+y²+2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x+y＝0，所求圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求圆的半径为，故选C.

4．(2009·石家庄一模)过圆x²+y²＝1上一点P作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为(　)

A．2　　B．3　　C.　　D.

答案：A

解析：设切线方程为+＝1(a>0，b>0)，则圆心到切线的距离＝1，+＝1，|AB|＝＝＝≥2，故选A.