例4、已知，F椭圆的两个焦点，过点F的直线BC交椭圆于B、C两点，

(1)，求点M的轨迹方程.

[答案]

(2)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.设()，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明:.

解：(1)略

(2) 证明：.由已知得方程组

注意，解得

因，故

.

而，所以

.

[结论发散]设P()为椭圆上一点，

(1)求的Min

(2)求的Max

(3)当<0时，的取值范围。

(4)若相应于焦点F的准线与x轴相交于点A，，求

(5)已知点M的坐标为(2,3)，求的最值。

(6)已知点Q的坐标为(1,1)，求的最小值

(7)已知点Q的坐标为(1,1)，求的最值

　[提示] =

=2a+2a+=2a+

例5.已知A、B为抛物线(p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，

(1)　　 若，求抛物线的方程。

(2)　　 CD是否恒存在一点K，使得

　　　　　　 Y　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　 A　　　

　　　　　 F　　　 P　　

　 B　　　

　　　　　　　　　　　　　　 X　

　　　　　　 O　

　　 D　　　　　 K　　　 C　　

解：(1)提示：记A()、B ()设直线AB方程为代入抛物线方程得

(2)设线段AB中点P在在准线上的射影为T，

则

＝－＝－＝0

故存在点K即点T，使得

[实质：以AB为直径的圆与准线相切]

[结论发散1] y轴上是否恒存在一点K，使得

[实质：以AF为直径的圆与y轴相切]

[结论发散2]求证：

[结论发散3]求证：存在实数使得

[实质：证明A、O、D三点共线(2001年高考题)]

[结论发散4] 设线段AB中点P在在准线上的射影为T，证明：

[题设变更1] 已知A、B为抛物线(p>0)上两点，，点C坐标为

(1)　　 求证：∥

(2)若＝()且试求点M的轨迹方程。

[题设变更2](2004全国湖南文21)如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:；

解：依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得　　

　　 ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以　 　　

由点P(0，m)分有向线段所成的比为，

得

又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是(0，－m)，从而.

所以　

思维能力训练

例1．已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.

(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程.

(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。

解：(1) =, ||=,且||+||=4.

点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为

(2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =

因此，

当时，即m=时，

[题设变式I.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|||-|||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)

[题设变式I.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程.

[提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -为准线抛物线]

[题设变式I.3] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程.

[提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为，当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= -为相应准线的椭圆；当时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，以x= -为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？]

[题设变式I.4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)

[题设变式I.5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。)

[考题] 已知点A(，0)，B(，0)动点P满足

(1)若动点P的轨迹记作曲线C_1，求曲线C₁的方程.

(2)已知曲线C₁交y轴正半轴于点Q，过点D(0，)作斜率为k的直线交曲线

C₁于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.(解答见附页)

[题设变式II.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. (,点P轨迹为圆，其中A(，0)，B(－，0))

[题设变式II.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)

例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.

　　 (1)求动点P的轨迹C的方程；

　　 (2)已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x₀，0)，求x₀的取值范围.

　　 导析　 (1)设P(x，y)，则H(0，y)，　　　 　　　　　　　　　　　

又因为所以有

所以点P的轨迹方程为y²-x²=4(x≠0).

　　 (2)设AB：y=k(x-2)，A(x₁y₁)，B(x₂y₂)，R(x₃y₃).

　　 　　　　化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0.

　 所以

所以DQ的方程为　 令y=0，得

　 又由

　 可得k²＞，由题意可知＜k＜1，

所以1＜＜，所以＜-()²+＜1，　 所以2＜x₀＜2+.

故所求的x₀的取值范围为(2，2+).

[题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？

[当0＜q＜1时，点P的轨迹为椭圆]

例3、如图所示，点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且 　

(1)求点N的轨迹C的方程；

(2)过点F(a，0)的直线l(不与x轴垂直)与曲线C交于A、B两点，设点K(-a，0)，与的夹角为，求证：0＜＜.

[答案提示] (1)点N的轨迹C的方程为

[变化]点F (a，0)(a＞0)，点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，

且(为常数)求点N的轨迹仍为抛物线吗？；

10. 设a、b、c均为实数，求证：++≥++.

证明：∵a、b、c均为实数，

∴(+)≥≥，当a=b时等号成立；

(+)≥≥，当b=c时等号成立；

(+)≥≥．

三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立.

[探索题](1).已知a³+b³=1,求a+b的取值范围.

　(2) 已知a>0,b>0,a+b=4,求的最小值.

解(1) 易知,否则a=－b代入a³+b³=0与已知矛盾.

令a+b=t≠0,由1=(a+b)³-3ab(a+b),得

,视a,b为方程 的根,

由,得

　①

∴①为

∴

　(2) 由4=a+b得ab≤4.

∴

当且仅当a=b时取“=”,所求最小值为.

易错解:原式,最小值为8.

9.某种生产设备购买时费用10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算?(即年平均费用最少)

解:设使用x年的年平均费用为y(万元)，则

y＝≥1+2＝3，

当且仅当x＝10时，等号成立.

8.(1)若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+)(1+)≥9

(2)设实数x，y满足y+x²=0，0<a<1，求证：≤。

证明:(1)法一:　 左边＝(1+)(1+)=1+++=1++

=1+≥1+=9＝右边　 (当且仅当x=y=时取“=”号)

法二： 令x=　 　y=,　 0<<

左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)

=1+++·=1+

=1+≥1+8=9＝右边

　0<2<　 =时，x=y=时取等号

法三：∵x+y=1

∴左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)

=5+2(+)≥5+4=9＝右边　 (当且仅当x=y=时取“=”号)

(2)∵ ≥，

≤，0<a<1

∴ ≥　 ∴ ≥

∴ ≤

7. 设x≥0, y≥0,　 x²+=1,求的最大值.

解法一: ∵x≥0, y≥0, x²+=1　

∴==

≤==

当且仅当x=,y=(即x²= )时, 取得最大值

解法二:　 令(0≤≤)

　 则=cos=

≤=

当=,

即=时,x=,y=时，取得最大值

6.若x，y是正数，则的最小值是_______

简答.提示：1-4.BBBB;　 5. ②③;　 6.原式=

[解答题]

5. 下列不等式中恒成立的是_________

①ctgθ+tgθ≥2　　　　 ②x+－1≥2

　 ③≥2 　　　　④xyz≤ (x+y+z=1)

4．(2004全国I)的最小值为( 　)

A．－　　　 B．－　　　 C．－－　　 D．+

[填空题]

3． (2004湖南)设则以下不等式中不恒成立的是　　　　　　　 ( 　)

A．　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．