17、正切函数的图象和性质:
(1)定义域:。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗?
(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;
(3)周期性:是周期函数且周期是,它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如的周期都是, 但
的周期为,而,的周期不变;
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(5)单调性:正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图:
16、形如的函数:
(1)几个物理量:A-振幅;-频率(周期的倒数);-相位;-初相;
(2)函数表达式的确定:A由最值确定;由周期确定;由图象上的特殊点确定,如,的图象如图所示,则=_____(答:);
(3)函数图象的画法:①“五点法”--设,令=0,求出相应的值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
(4)函数的图象与图象间的关系:①函数的图象纵坐标不变,横坐标向左(>0)或向右(<0)平移个单位得的图象;②函数图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数的图象;③函数图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数的图象;④函数图象的横坐标不变,纵坐标向上()或向下(),得到的图象。要特别注意,若由得到的图象,则向左或向右平移应平移个单位,如(1)函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象?(答:向上平移1个单位得的图象,再向左平移个单位得的图象,横坐标扩大到原来的2倍得的图象,最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象);(2) 要得到函数的图象,只需把函数的图象向___平移____个单位(答:左;);(3)将函数图像,按向量平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量);(4)若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点,则的取值范围是 (答:)
(5)研究函数性质的方法:类比于研究的性质,只需将中的看成中的,但在求的单调区间时,要特别注意A和的符号,通过诱导公式先将化正。如(1)函数的递减区间是______(答:);(2)的递减区间是_______(答:);(3)设函数的图象关于直线对称,它的周期是,则A、 B、在区间上是减函数 C、 D、的最大值是A(答:C);(4)对于函数给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线成轴对称;③图象可由函数的图像向左平移个单位得到;④图像向左平移个单位,即得到函数的图像。其中正确结论是_______(答:②④);(5)已知函数图象与直线的交点中,距离最近两点间的距离为,那么此函数的周期是_______(答:)
15、正弦函数、余弦函数的性质:
(1)定义域:都是R。
(2)值域:都是,对,当时,取最大值1;当时,取最小值-1;对,当时,取最大值1,当时,取最小值-1。如(1)若函数的最大值为,最小值为,则__,_(答:或);(2)函数()的值域是____(答:[-1, 2]);(3)若,则的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5);(4)函数的最小值是_____,此时=__________(答:2;);(5)己知,求的变化范围(答:);(6)若,求的最大、最小值(答:,)。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?
(3)周期性:①、的最小正周期都是2;②和的最小正周期都是。如(1)若,则=___(答:0);(2) 函数
的最小正周期为____(答:);(3) 设函数,若对任意都有成立,则的最小值为____(答:2)
(4)奇偶性与对称性:正弦函数是奇函数,对称中心是,对称轴是直线;余弦函数是偶函数,对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴的交点)。如(1)函数的奇偶性是______(答:偶函数);(2)已知函数为常数),且,则______(答:-5);(3)函数的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________(答:、);(4)已知为偶函数,求的值。(答:)
(5)单调性:上单调递增,在单调递减;在上单调递减,在上单调递增。特别提醒,别忘了!
14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数和余弦函数图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
13、辅助角公式中辅助角的确定:(其中角所在的象限由a, b的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。如(1)若方程有实数解,则的取值范围是___________.(答:[-2,2]);(2)当函数取得最大值时,的值是______(答:);(3)如果是奇函数,则= (答:-2);(4)求值:________(答:32)
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如,,,,等),如(1)已知,,那么的值是_____(答:);(2)已知,且,,求的值(答:);(3)已知为锐角,,,则与的函数关系为______(答:)
(2)三角函数名互化(切割化弦),如(1)求值(答:1);(2)已知,求的值(答:)
(3)公式变形使用(。如(1)已知A、B为锐角,且满足,则=_____(答:);(2)设中,,,则此三角形是____三角形(答:等边)
(4)三角函数次数的降升(降幂公式:,与升幂公式:,)。如(1)若,化简为_____(答:);(2)函数
的单调递增区间为___________(答:)
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如(1)
(答:);(2)求证:;(3)化简:(答:)
(6)常值变换主要指“1”的变换(
等),如已知,求(答:).
(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系--“知一求二”,如(1)若 ,则 __(答:),特别提醒:这里;(2)若,求的值。(答:);(3)已知,试用表示的值(答:)。
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
如(1)下列各式中,值为的是 A、 B、 C、 D、 (答:C);(2)命题P:,命题Q:,则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件(答:C);(3)已知,那么的值为____(答:);(4)的值是______(答:4);(5)已知,求的值(用a表示)甲求得的结果是,乙求得的结果是,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对)
10.三角函数诱导公式()的本质是:奇变偶不变(对而言,指取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k+,;(2)转化为锐角三角函数。如(1)的值为________(答:);(2)已知,则______,若为第二象限角,则________。(答:;)
9. 同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系:
(2)倒数关系:sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
(3)商数关系:
同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如(1)函数的值的符号为____(答:大于0);(2)若,则使成立的的取值范围是____(答:
);(3)已知,,则=____(答:);(4)已知,则=____;=_________(答:;);(5)已知,则等于 A、 B、 C、 D、(答:B);(6)已知,则的值为______(答:-1)。
8.特殊角的三角函数值:
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30° |
45° |
60° |
0° |
90° |
180° |
270° |
15° |
75° |
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0 |
1 |
0 |
-1 |
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1 |
0 |
-1 |
0 |
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1 |
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0 |
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0 |
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2- |
2+ |
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1 |
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0 |
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0 |
2+ |
2- |
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