4．异面直线间的距离：　　　　　　　　　　　 　　　　．

3．两个平面的距离：　　　　　　　　　　　 　　　　．

2．直线到平面的距离：　　　　　　　　　　　　　　　．

1．点到平面的距离：　　　　　　　　　　　　　　 　．

10.1+log_x3与2log_x2(x＞0且x≠1)的大小.

解：(1+log_x3)－2log_x2=log_x.

当或

即0＜x＜1或x＞时，

有log_x＞0，1+log_x3＞2log_x2.

当①或②时，log_x＜0.

解①得无解，解②得1＜x＜，

即当1＜x＜时，有log_x＜0，

1+log_x3＜2log_x2.

当x=1，即x=时，有log_x=0.

∴1+log_x3=2log_x2.

综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+log_x3＞2log_x2；

当1＜x＜时，1+log_x3＜2log_x2；

当x=时，1+log_x3=2log_x2.

　[探索题]x、y是正实数,记

A(x,y)=,B(x,y)=

(1)　　　　 证明:A(x,y)≤B(x,y)

(2)　　　　 是否存在常数C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立?证明你的结论.

证明:(1)B(x,y)－A(x,y)=

∴A(x,y)≤B(x,y).

(2)鉴于二式中关于x,y的轮换对称性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)=

下证A(x,y)≤≤B(x,y)

同理.

所以,存在正常数C=,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立.

(2)法2: (放缩法)

9.在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁＝b₁>0，a₃＝b₃>0，a₁≠a₃.试比较下面两组数的大小.

(1)　　　 a₂与b₂.

(2)　　　 (2)a₅与b₅.

解:设a_n＝a₁+(n-1)d,b_n＝a₁q_n-1，依题意a₁+2d＝a₁q²,∴d＝a₁q²-a₁,

∴(1)a₂-b₂＝a₁+d-a₁q＝a₁-a₁q+a₁q²-a₁＝aq²-a₁q+₁＝a(q-1)²，

∵a₁≠a₃，∴a₁≠a₁+2d，即d≠0,q≠1,

∴a₂-b₂＝a₁(q-1)²>0,∴a₂>b₂.

(2)a₅-b₅＝a₁+4d-a₁q⁴＝a₁-a₁q⁴+2a₁q²-2a₁＝-a₁q⁴+2a₁q²-a₁＝-a₁(q²-1)²<0,∴a₅<b₅.

8. 已知函数f(x)=x³+x 证明:

(1)　　　　 f(x)是增函数;

(2)　　　　 若a,b,c∈R, 且,a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)>0.

证明:(1)设x₁<x₂

f(x₁)-f(x₂)=x₁³+x₁-x₂³-x₂

=(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²+1)　 ①

当x₁,x₂同号时, ①=(x₁-x₂)[(x₁-x₂)²+3x₁x₂+1)]<0

当x₁,x₂异号时,①=(x₁-x₂)[(x₁+x₂)²-x₁x₂+1)]<0

综上有f(x₁)<f(x₂),故f(x)是增函数.

(2)∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数.又a+b>0即a>-b

∴f(a)>f(-b)=－f(b),即 f(a)+f(b)>0.

同理, f(b)+f(c)>0, f(a)+f(c)>0.

三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]>0,所以f(a)+f(b)+f(c)>0成立.

7.设实数a,b,c满足①b+c＝6-4a+3a²,②c-b＝4-4a+a²，试确定a,b,c的大小关系.

解:∵c-b＝(a-2)²≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a²，∴b＝1+a²,∴b-a＝a²-a+1＝(a-)²+>0,∴b>a，从而c≥b>a.

6.取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=.

∴D＜B＜A＜C.

[解答题]

5. 解：∵ab－(a+b)=(a－1)(b－1)－1＞0.∴ab＞a+b.