2．线面垂直

定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

1．线线垂直

判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式： 。

注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：

(1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；

(2)在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

(3)解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

5．证明两平面平行的方法：

(1)利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

(2)判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β。

(3)垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β。

(4)平行于同一个平面的两个平面平行。

两个平面平行的性质有五条：

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。

(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。

(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

(5)过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

4．直线和平面相互平行

证明方法：1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

3．注意下面的转化关系：

2．注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。

在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．

1．用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

题型1：共线、共点和共面问题

例1．(1)如图所示，平面ABD平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。

试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。

证明：∵　四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰，

∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。

∵　O 直线MQ ；直线MQ 平面ABD ，

∴　O 平面ABD。

同理，O 平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ，

故由公理二知，O 直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点。

点评：由已知条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。

(2)如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线。

证明：∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β．

又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点。

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线。

点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。

例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面。

证明：1^o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，

但AÏd，如图1所示：

∴直线d和A确定一个平面α。

又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，

则A，E，F，G∈α。

∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα。

同理可证bα，cα。

∴a，b，c，d在同一平面α内。

2^o当四条直线中任何三条都不共点时，

如图2所示：

∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α。

设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α。

又 H，K∈c，∴c,则cα。

同理可证dα。

∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。

题型2：异面直线的判定与应用

例3．已知：如图所示，a b ＝a ，b b ，a b ＝A ，c a ，c ∥a 。求证直线b 、c 为异面直线。

证法一：假设b 、c 共面于g ．由A a ，a ∥c 知，A c ，而a b ＝A，a b ＝a ，

∴　 A g ，A a。

又c a ，∴　 g 、a 都经过直线c 及其外的一点A，

∴　 g 与a 重合，于是a g ，又b b。

又g 、b 都经过两相交直线a 、b ，从而g 、b 重合。

∴　 a 、b 、g 为同一平面，这与a b ＝a 矛盾。

∴　 b 、c 为异面直线．

证法二：假设b 、c 共面，则b ，c 相交或平行。

(1)若b ∥c ，又a ∥c ，则由公理4知a ∥b ，这与a b ＝A 矛盾。

(2)若b c ＝P ，已知b b ，c a ，则P 是a 、b 的公共点，由公理2，P a ，又b c ＝P ，即P c ，故a c ＝P ，这与a ∥c 矛盾。

综合(1)、(2)可知，b 、c 为异面直线。

证法三：∵　 a b ＝a ，a b ＝A ，∴　 A a 。

∵　 a ∥c ，∴　 A c ，

在直线b 上任取一点P(P 异于A)，则P a(否则b a ，又a a ，则a 、b 都经过两相交直线a 、b ，则a 、b 重合，与a b ＝a 矛盾)。

又c a ，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b 、c 为异面直线。

点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。异面直线又有两条途径：其一是直接假设b 、c 共面而产生矛盾；其二是假设b 、c 平行与相交；分别产生矛盾。判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：(1)否定结论；(2)进行推理；(3)导出矛盾；(4)肯定结论．

宜用反证法证明的命题往往是(1)基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题(如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等)；(2)肯定或否定型的命题(如结论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题)；(3)唯一型的命题(如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题)；(4)正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；(5)结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。

例4．(1)已知异面直线a,b所成的角为70，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b都成60角的直线有(　 )条

A．1　　　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　　　　 D．4

(2)异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是60，则的取值可能是(　 )

A．30　　　　　　 B．50　　　　　　 C．60　　　　　　　 D．90

解析：(1)过空间一点O分别作∥a,∥b。

将两对对顶角的平分线绕O点分别在竖直平面内转动，总能得到与 都成60角的直线。故过点 O与a,b都成60角的直线有4条，从而选D。

(2)过点O分别作∥a、∥b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为60，等价于过点O有三条直线与所成角都为60，其中一条正是角的平分线。从而可得选项为C。

点评：该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。

题型3：线线平行的判定与性质

例5．(2003上海春，13)关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是(　　 )

A．若a∥M，b∥M，则a∥b

B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M

C．若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M

D．若a⊥M，a∥N，则M⊥N

解析：解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面。B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M。D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N。答案D。

点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质。

例6．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。

证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB。

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE。

证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE。

题型4：线面平行的判定与性质

例7．(2006四川理19 )如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，，求证：面。

证明：取的中点，连结；

∵分别为的中点

∵

∴面，面

∴面面　 ∴面

点评：主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，主要考察线面平行的判定定理。

例8．(1999全国文22，理21)如图所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.

(Ⅰ)求截面EAC的面积；

(Ⅱ)求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；

解：(Ⅰ)如图所示，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴DO⊥AC　

又∵ED⊥底面AC，　

∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD＝45°

DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a，

故S_△EAC=EO·AC＝a²．

(Ⅱ)由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，A₁A⊥AC．

又A₁A⊥A₁B₁，

∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC间的公垂线.

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD与面EAC交线为EO，

∴D₁B∥EO，

又O是DB的中点

∴E是D₁D的中点，D₁B＝2EO＝2a.

∴D₁D＝a

异面直线A₁B₁与AC间的距离为a.

题型5：面面平行的判定与性质

例9．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为a。证明：平面ACD₁ ∥平面A₁C₁B 。

证明：如图，∵　 A₁BCD₁ 是矩形，A₁B ∥D₁C 。

又D₁C 平面D₁CA ，A₁B 平面D₁CA ，

∴　 A₁B ∥平面D₁CA。

同理A₁C₁ ∥平面D₁CA ，又A₁C₁ A₁B ＝A₁ ，∴　 平面D₁CA ∥平面BA₁C₁ ．

点评：证明面面平行，关键在于证明A₁C₁ 与A₁B 两相交直线分别与平面ACD₁ 平行。

例10．P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心。

(1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC；

(2)S_{△A′B′C′}∶S_△ABC的值。

解析：(1)取AB、BC的中点M、N，

则

∴A′C′∥MN?A′C′∥平面ABC。

同理A′B′∥面ABC，

∴△A′B′C′∥面ABC.

(2)A′C′=MN=·AC=AC

，

同理

∴