2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a_n+k=f(a_n+k－1,a_n+k－2,…,a_n)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a_n+1=2a_n+1，及a₁=1，确定的数列即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。

(2)迭代法。

(3)代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

1．数列求通项与和

(1)数列前n项和S_n与通项a_n的关系式：a_n=　 。

(2)求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a_n=(a_n－a_n－1)+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁；

③归纳、猜想法。

(3)数列前n项和

①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；

1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)；

1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²；

②等差数列中，S_m+n=S_m+S_n+mnd；

③等比数列中，S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n；

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、C_n－1^r－1=C_n^r－C_n－1^r、=－等。

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，…

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S_n。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

⑦通项分解法：

2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。

1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；

4．有关数列的应用问题也一直备受关注。

预测2007年高考对本将的考察为：

3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；

2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；

数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。

有关命题趋势：

1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；

2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。

1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；