2．设A={a，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A∪B=　　　　　　　　　 (　　 )

A、{1，2}　　　　　 B、{1，5}　　　　 C、{2，5}　　　　 D、{1，2，5}

1、下列四个集合中，是空集的是(　 )

A　 　　　　　　　　　　　　　　　 B　

C 　　　　　　　　　　 D　

2、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？(角度用反三角函数表示)

●板书设计

●授后记

课题: §2.2解三角形应用举例

授课类型：新授课

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用

过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

●教学重点

推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目

●教学难点

利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？

生：h=bsinC=csinB

h=csinA=asinC　　

h=asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？

生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？

生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;

(2)已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;

(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：(1)应用S=acsinB，得

　　　　 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)

(2)根据正弦定理，

　　　　　　　　 　= 　

　　　　　　　　　 c　 =

S = bcsinA = b

A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5

　　　　　　 S = 3.16≈4.0(cm)

(3)根据余弦定理的推论，得

cosB =

　　 =

　　 ≈0.7697

sinB = ≈≈0.6384

应用S=acsinB，得

S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)

例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精确到0.1cm)？

师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，

cosB=

　　 =≈0.7532

sinB=0.6578

应用S=acsinB

　　 S ≈681270.6578≈2840.38(m)

答：这个区域的面积是2840.38m。

例3、在ABC中，求证：

(1)

(2)++=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：(1)根据正弦定理，可设

　　　　　　　　　 　= 　= 　= k

显然 k0，所以

　　　 左边=

　　　　　 ==右边

(2)根据余弦定理的推论，

　　　　　　 右边=2(bc+ca+ab)

　　　　　　　　 =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)

=a+b+c=左边

变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9;a=12,S=18

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，

(1)　　　 acosA = bcosB

(2)　　　 sinC =

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”

(1)　　　 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。

生1：(余弦定理)得

a=b

c=

根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：(正弦定理)得

sinAcosA=sinBcosB,

sin2A=sin2B,

2A=2B,

A=B

根据边的关系易得是等腰三角形

师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？

生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90

(2)(解略)直角三角形

Ⅲ.课堂练习

课本第21页练习第1、2题

Ⅳ.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

Ⅴ.课后作业

课本第23页练习第12、14、15题

●板书设计

●授后记

1、课本第23页练习第9、10、11题

2、　 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？

答案：20+(m)

●板书设计

●授后记

课题: §2.2解三角形应用举例

第三课时

授课类型：新授课

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

●教学重点

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系

●教学难点

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课

[范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，

AC=

　 =

　 ≈113.15

根据正弦定理,

　　　　　　 　=　

　　　　　　 sinCAB =

　　　　　　　　　　 =

　　　　　　　　　　 ≈0.3255,

所以　　　　　 CAB =19.0,

　　　　　　 75- CAB =56.0

答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。

生：上台板演方位图(上图)

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一：(用正弦定理求解)由已知可得在ACD中，

　　　　 AC=BC=30，

　　　　 AD=DC=10，

　 ADC =180-4，

　　　 = 。

　　　 因为　 sin4=2sin2cos2

　　 cos2=,得　 2=30

　　 =15，

在RtADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角为15，建筑物高度为15m

解法二：(设方程来求解)设DE= x，AE=h

　　　 在 RtACE中,(10+ x) + h=30

　　　 在 RtADE中,x+h=(10)

　　　 两式相减，得x=5,h=15

在 RtACE中,tan2==

2=30,=15

　答：所求角为15，建筑物高度为15m

解法三：(用倍角公式求解)设建筑物高为AE=8，由题意，得

BAC=，　 CAD=2，

AC = BC =30m , AD = CD =10m

在RtACE中，sin2=　　　　　　　　　　　　　　　 --------- ①

在RtADE中，sin4=,　　　　　　　　　　　　 　--------- ②

　 ②① 得　　　 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15

答：所求角为15，建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

ACB=+=

(14x) = 9+ (10x) 　-2910xcos

化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sinBAC ===

BAC =38,或BAC =141(钝角不合题意，舍去)，

38+=83

答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

Ⅲ.课堂练习

课本第18页练习

Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

Ⅴ.课后作业

1、　 课本第23页练习第6、7、8题

1、[复习旧知]

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2．当A为锐角时，

如果≥，那么只有一解；

如果，那么可以分下面三种情况来讨论：

(1)若，则有两解；

(2)若，则只有一解；

(3)若，则无解。

(以上解答过程详见课本第910页)

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

(1)在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

(2)在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。

(3)在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

(答案：(1)有两解；(2)0；(3))

例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。

分析：由余弦定理可知

(注意：)

解：，即，

∴。

[随堂练习2]

(1)在ABC中，已知，判断ABC的类型。

(2)已知ABC满足条件，判断ABC的类型。

(答案：(1)；(2)ABC是等腰或直角三角形)

例3．在ABC中，，，面积为，求的值

分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理

解：由得，

则=3，即，

从而

Ⅲ.课堂练习

(1)在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C

(2)在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C

(答案：(1)或；(2))

Ⅳ.课时小结

(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

(2)三角形各种类型的判定方法；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业

(1)在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

(3)在ABC中，，，，判断ABC的形状。

(4)三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，

求这个三角形的面积。

●板书设计

●授后记

课题: §2.2解三角形应用举例

第一课时

授课类型：新授课

●教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题--引发思考--探索猜想--总结规律--反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

●教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

●教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

●教学过程

Ⅰ.课题导入

1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。