3.描绘单摆的振动图象(一册168页)

对同一个单摆，如果两次拉出木板得到的图形分别如a、b所示，说明两次拉木板的速度之比为3∶2。

　　 对摆长不同的单摆，如果两次拉木板的速度相同，说明摆的周期之比为3∶2，摆长之比为9∶4。

2.卡文迪许实验(一册106页)

右图是卡文迪许扭秤实验的示意图。其中固定在T形架上的小平面镜起着非常大的作用。利用光的反射定律可以把T形架的微小转动放大到能够精确测量的程度。设小平面镜到刻度尺的距离为L，T形架两端固定的两个小球中心相距为l，设放置两个大球m^/ 后，刻度尺上的反射光点向左移动了Δx，那么在万有引力作用下，小球向大球移动了多少？ 

1.加速度和力的关系 加速度和质量的关系(一册50-51页)

两个相同的小车并排放在光滑水平桌面上，小车前端系上细线，线的另一端跨过定滑轮各挂一个小盘，盘里分别放有不同质量的砝码。小车所受的水平拉力F的大小可以认为等于砝码(包括砝码盘)的重力大小。小车后端也系有细线，用一只夹子夹住两根细线，控制两辆小车同时开始运动和结束运动。

由于两个小车初速度都是零，运动时间又相同， s=1at²∝a，只要测出两小车位移s之比就等于它们的加速度a之比。

实验结果是：当小车质量相同时，a∝F，当拉力F相等时，a∝1/m。

实验中用砝码(包括砝码盘)的重力G的大小作为小车所受拉力F的大小，这样做会引起什么样的系统误差？怎样减小这个系统误差？

5、竖直上抛运动

⑴定义：物体以初速度v₀竖直向上抛出后，只在重力作用下而做的运动。

⑵三种常见的处理方法：

①分段法：将整个竖直上抛运动可分为两上衔接的运动来处理，即上升运动和下落运动上升运动：从抛出点以初速度为v₀，加速度为g的匀减速直线运动。(t≤v₀/g)

下落运动：从最高点开始为自由落体运动。(当t＞v₀/g时作自由落体的运动时间为t^’=t-v₀/g)。

②整体法：将上升阶段和下落阶段统一看成是初速度向上，加速度向下的匀减速直线运动，其规律按匀减速直线运动的公式变为：

特别要注意的是：上述三式中均是取v₀的方向(即竖直向上)为正方向。即速度v_t向上为正，向下为负(过了最高点以后)；位移h在抛出点上方为正，在抛出点下方为负。　　　　　　　　　　　　　　　

③从运动的合成观点看：是竖直向上以v₀为速度的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动的合运动。

⑶竖直上抛运动的几个特点：

①物体上升到最大高度时的特点是v_t = 0。由公式可知，物体上升的最大高度H满足：　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 ②上升到最大高度所需要的时间满足：　　 。

③物体返回抛出点时的特点是h = 0。该物体返回抛出点所用的时间可由公式求得：　　　　　　　　　　　　　　　　

④将这个结论代入公式，可得物体返回抛出点时的速度：

这说明物体由抛出到返回抛出点所用的时间是上升段(或下降段)所用时间的二倍。也说明上升段与下降段所用的时间相等。返回抛出点时的速度与出速度大小相等方向相反。

　　　 ⑤从前面两个表对比可以看出竖直上抛的物体在通过同一位置时不管是上升还是下降物体的速率是相等的。

⑥竖直上抛运动由减速上升段和加速下降段组成，但由于竖直上抛运动的全过程中加速度的大小和方向均保持不变，所以竖直上抛运动的全过程可以看作是匀减速直线运动。

例题：一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面。此时其重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高0.45m达到最高点。落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计。)从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是_______s。(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点。g取为10m/s²，结果保留二位数字。)

　 　解析：由图来看人的重心在跳水过程由A到B做竖直上抛运动，然后由B经C到D做自由落体运动。人的身高虽未给出，但不影响计算。

　　 因由A竖直上抛到B的时间等于由B自由落下到C的时间，所以上升时间

　　 人重心由B到D自由落下的时间

　　 人完成空中动作的时间为

　　 t=t₁+t₂

　　 =0.3s+1.45s

　　 =1.75s

　　 本题要求学生首先要明确这一物理过程，然后将之转换成合理的物理模型。其次要掌握人重心位置的变化，了解人的身高(未给出)并不影响问题的解决。

例题：物体A从80m高处自由下落，与此同时在它正下方的地面上以40m/s的初速度竖直向上抛出物体B。试分析二者经历多长时间在何处相遇？(空气阻力不计，g取10m/s²)

　解析：物体A自由下落，落至地面时

　　 物体B竖直上抛至最高点所需时间为

　　 因此，A、B相遇经历的时间小于4s。

　　 解：物体A距地面高为H=80m。设二者经时间t在距地面高为h处相遇。A物体做自由落体运动

　　 H-h=gt²　　　　　　　 (1)

　　 B物体做竖直上抛运动

　　 h=v₀t－gt²　　　　 (2)

　　 将(2)式代入(1)式可得

　　 H=v₀t－gt²+gt²

　　 =v₀t

　　 \t==2s

　　 h=v₀t－gt²

　　 =60m

4、竖直下抛运动。

⑴定义：物体只在重力作用下，初速度竖直向下的抛体运动叫竖直下抛运动。

　　　 ⑵竖直下抛运动是沿竖直方向的匀加速直线运动。且加速度为g(= 9.8m/s²)。

　　　 ⑶竖直下抛运动的规律：

　　　　　　　　　　　　 (1)

　　　　　　　　　　　 (2)

　　　　　　　　　　　 (3)

　　　　　　　　　　 (4)

3、自由落体运动

⑴定义：不计空气阻力，物体由空中从静止开始下落的运动。

⑵自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动。地球表面附近的重力加速度g的大小一般取9.8m/s²；粗略计算时可取g=10m/s²，g的方向为竖直向下。

⑶自由落体的运动规律

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　(1)

　　　　　　　　　　　 (2)

　　　　　　　　　　　 (3)

　　　　　　　　　　　 (4)

⑷由于自由落体的初速度为零，故可充分利用比例关系。

例题：从楼顶上自由落下一个石块，它通过1.8m高的窗口用时间0.2s，问楼顶到窗台的高度是多少米？(g取10m/s²)

解法一：设楼顶到窗台(窗口下沿)的高度为h，石块从楼顶自由下落到窗台用时间t，则有下列二式成立

　　 h=gt²　　　　　　　　 (1)

　　 h-1.8=g(t-0.2)²　　　 (2)

　　 由(1)与(2)联立解得t值

　　 t=1s

　　 代入(1)式可得

　　 h=5m

　 　解法二：设石块通过窗口上沿的瞬时速度为v₀，通过窗口下沿的瞬时速度为v₂。石块从窗口上沿到下沿做初速度不为零的匀加速直线运动，且加速度为g，设窗口高为h₁，则

　　 h₁=v_ot₁+g　　　　　　 (1)

　　 式中t₁为石块通过窗口的时间。由(1)式可解得

再用速度与位移关系求v_t

　　 这个v_t也是石块从楼顶自由落下到窗台时的瞬时速度。设楼顶到窗台的高度为h

例题：物体从某一高度自由落下，到达地面时的速度与在一半高度时的速度之比是：

　　 (A):1　　　　 (B):2　　　　 (C)2:1　　　　　 (D)4:1

解法一：设物体距地面高为h，自由落下到达地面时间为t，速度为v_t

　　 h=gt²　　　　　　 (1)

　　 v_t=gt　　　　　　　 (2)

　　 由(1)与(2)式可解得

　　 　　　　　 (3)

　　 若物体仍由原处开始自由下落至h¢=处速度为，则

　　 由(3)与(4)联立可得

解法二：由开始时刻计时，物体通过连续相等的、相邻的位移的时间之比为　　　　　 t₁:t₂:……:t_n=(－):(:):……:()

　　 可知：t₁:t₂=(－):(:)

　　 而由速度公式：v_t=g(t₁+t₂)　 =gt₁

　　 \

　　 答：此题应选(A)。

2、运动学中的追赶问题

⑴匀减速运动物体追赶同向匀速物体时，恰能追上或恰好追不上的临界条件：即将追及时，追赶者速度等于被追赶者速度(也就是追赶者速度大于或等于被追赶者速度时能追上；当追赶者速度小球被追赶者速度时，追不上)

⑵初速度为零的匀加速运动物体追赶同向匀速运动物体时，追上之前两者具有最大距离的条件是：追赶者速度等于被追赶者的速度。

⑶被追的物体作匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动。

1、匀变速直线的规律

⑴基本公式：①速度公式：

②位移公式：

③速度位移关系公式：

④平均速度公式：

匀变速直线运动中牵涉到v₀、v_t、a、s、t五个物理量，其中只有t是标量，其余都是矢量。通常选定v₀的方向为正方向，其余矢量的方向依据其与v₀的方向相同或相反分别用正、负号表示。如果某个矢量是待求的，就假设其为正，最后根据结果的正、负确定实际方向。

⑵匀变速直线运动的一些重要推论

①做匀变速直线运动的物体在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度

②做匀变速直线运动的物体在某段位移中点的瞬时速度等于初速度v₀和末速度v_t平方和一半的平方根　　

③连续相等时间内的位移差等于恒量：s₂-s₁=s₃-s₂=……s_n-s_n-1=at²。

⑶初速度为零的匀加速直线运动的重要特征：

　①连续相等时间末的瞬时速度比：v_t：v_2t：v_3t：…：v_nt＝1：2：3：…：n。

②ts，2ts，…nts内的位移比：s_t：s_2t：…s_nt＝1：4：9：…：n²。

③连续相等时间内的位移比：s₁：s₂：…s_n＝1：3：5：…：(2n-1)。

④通过连续相同位移所用时间之比：t₁：t₂：…：t_n＝1：：：…：(

例题：一辆汽车正以15m/s的速度行驶，在前方20m处突然亮起红灯，司机立即刹车，刹车过程中汽车加速度的大小是6m/s²。求刹车后3s末汽车的速度和车距红绿灯有多远？

　 解析：刹车后汽车做匀减速直线运动。车停时速度v_t=0，故刹车所用时间可用速度公式求出，由此来判断汽车是否已在3s前停止了。

　　 解：汽车刹车后停止时v_t=0，代入速度公式，求刹车时间t。

　　 0=v₀－at

故3秒末汽车速度为零，再用速度与位移的关系式算刹车距离

　　 车距红绿灯20m－18.75m=1.25m

例题：汽车从静止开始做匀加速直线运动，经过时间t₁后改做匀减速直线运动。匀减速运动经过时间t₂汽车停下来。汽车的总位移为S，汽车在整个运动过程中的最大速度为______。　

　 解析：汽车的 v-t图如图所示，图中的v即所求的最大速度。因为前后两段运动的平均速度都等于，故由下式来解题

　　 即：

　　 此题还可以由图线来解，因v-t图的三角形面积即表示总位移，故：

　　 S=v(t₁+t₂)

　　 即

　　 答：此题应填。

例题：一质点由A点出发沿直线AB运动，行程的第一部分是加速度为a₁的匀加速直线运动，接着以加速度a₂做匀减速运动，抵达B点时刚好停止，苦AB长度是S，则质点运动所需时间为_______。

　 解析：设v是质点做匀加速运动的末速度

　　 v=a₁t₁　 　　　　 ①

　　 v又是质点做匀减运动的初速度，故

　　 0=v-a₂t₂

　　 v=a₂t₂　　　　　　 ②

　　 质点运动所需时间t与t₁、t₂关系

　　 t=t₁+t₂　　　　　　　 ③

　　 由①②③式联立可得

　　 　　　 ④

　　 由平均速度的公式

　　 　　　　　 ⑤

　　 将①式代入⑤式

　　 再把④式代入上式

　　 质点运动所需时间

　　 答：此题应填。

　 例题：为了测定某辆轿车在平直路上起动时间的加速度(轿车起动时的运动可近似看作匀加速运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示。如果拍摄时每隔2秒曝光一次，轿车车身总长为4.5m，那么这辆轿车的加速度约为：

　　 (A)1m/s　　 (B)2m/s　　 (C)3m/s　　　　 (D)4m/s

　 解析：照片上汽车的像在标尺上约占3大格，汽车长4.5m，所以标尺上每1大格相当于1.5m的距离。由汽车像的前头来计量，第一个像到第二个像间是8大格，第二个像到第三个像间是13.5大格。因此

　　 S₁=8×1.5m=12m

S₂=13.5×1.5m=20m

　　 因T=2s，所求轿车的加速度

答：此题应选(B)。

例题： 　两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知

A.在时刻t₂以及时刻t₅两木块速度相同

B.在时刻t₁两木块速度相同

C.在时刻t₃和时刻t₄之间某瞬间两木块速度相同

D.在时刻t₄和时刻t₅之间某瞬时两木块速度相同

解析：首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显地是做匀速运动。由于t₂及t₅时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在t₃、t₄之间，因此本题选C。

例题：物体在恒力F₁作用下，从A点由静止开始运动，经时间t到达B点。这时突然撤去F₁，改为恒力F₂作用，又经过时间2t物体回到A点。求F₁、F₂大小之比。

解析：设物体到B点和返回A点时的速率分别为v_A、v_B， 利用平均速度公式可以得到v_A和v_B的关系。再利用加速度定义式，可以得到加速度大小之比，从而得到F₁、F₂大小之比。

画出示意图如右。设加速度大小分别为a₁、a₂，有：

　　 ∴a₁∶a₂=4∶5，∴F₁∶F₂=4∶5

　　 特别要注意速度的方向性。平均速度公式和加速度定义式中的速度都是矢量，要考虑方向。本题中以返回A点时的速度方向为正，因此AB段的末速度为负。

9、匀变速直线运动的位移

　　　 由匀速运动的位移S = vt，可以用速度图线和横轴之间的面积求出来。如右图中AP为一个匀变速运动物体的速度图线，为求得在t时间内的位移，可将时间轴划分为许多很小的时间间隔，设想物体在每一时间间隔内都做匀速运动，虽然每一段时间间隔内的速度值是不同的，但每一段时间间隔t_i与其对应的平均速度v_i的乘积S_i = v_it_i近似等于这段时间间隔内匀变速直线运动的位移，因为当时间分隔足够小时，间隔的阶梯线就趋近于物体的速度线AP阶梯线与横轴间的面积，也就更趋近于速度图线与横轴的面积，这样我们可得出结论：匀变速直线运动的位移可以用速度图线和横轴之间的面积来表示，此结论不仅对匀变速运动，对一般变速运动也还是适用的。 　

　　　 由此可知：所求匀变直线运动物体在时间t内的位移如下图中APQ梯形的面积“S” = 长方形ADQO的面积 + 三角形APO的面积，

　　　 所以位移，当v₀ = 0时，位移 ，由此还可知梯形的中位线BC就是时间一半(中间时刻)时的即时速度，也是(首末速度的平均)，也是这段时间的平均速度，因此均变速直线运动的位移还可表示为：，此套公式在解匀变速直线运动问题中有时更加方便简捷。还应指出，在匀变速直线运动中，用如上所述的速度图象有时比上述的代数式还更加方便简捷。

例题： 图示出A、B二运动物体的位移图象，下述说法正确的是：

　　 (A)A、B二物体开始时相距100m，同时相向运动

　　 (B)B物体做匀速直线运动，速度大小为5m/s

　　 (C)A、B二物体运动8s时，在距A的出发点60m处相遇

　　 (D)A物体在运动中停了6s

　 解析：A、B二物体相距100m，同时开始相向运动。二图线交点指明二物体8s时在距A出发点60m处相遇。B物体向0点方向运动速度大小。A物体先做匀速直线运动，从2s未到6s中间停了4s，然后又做匀速直线运动。

　　 答：此题应选(A)、(B)、(C)。

　例题：图为一物体的匀变速直线运动速度图线，根据图线作出以下几个判断，正确的是：

　　 (A)物体始终沿正方向运动

　　 (B)物体先沿负方向运动，在t=2s后开始沿正方向运动

　　 (C)在t=2s前物体位于出发点负方向上，在t=2s后位于出发点正方向上

　　 (D)在t=2s时，物体距出发点最远

　 解析：由速度图线可知物体的初速度v₀=-20m/s，负号表明它的方向是负方向。

　　 在2s前物体向负方向做匀减速直线运动，其加速度为

　　 由速度公式和位移公式，再结合图象考虑可知物体在2s末时速度为零，位移大小最大，2s到4s物体向正方各做匀加速运动，4s末回到原出发点。故2s后，它回到出发点。

　　 答：此题应选(B)、(D)。

例题：一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，

比较它们到达水平面所用的时间

　 A.p小球先到　　 B.q小球先到　　 C.两小球同时到　　 D.无法确定

　 解析：可以利用v-t图象(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。在同一个v-t图象中做出p、q的速率图线，显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上。为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同)，显然q用的时间较少。

例题：两支完全相同的光滑直角弯管(如图所示)现有两只相同小球a和a^/ 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)　

　 解析：首先由机械能守恒可以确定拐角处v₁> v₂，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题意可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球a^/第二阶段的加速度大小相同(设为a₁)；小球a第二阶段的加速度跟小球a^/第一阶段的加速度大小相同(设为a₂)，根据图中管的倾斜程度，显然有a₁> a₂。根据这些物理量大小的分析，在同一个v-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同(纵坐标相同)。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达(经历时间为t₁)则必然有s₁>s₂，显然不合理。考虑到两球末速度大小相等(图中v_m)，球a^/ 的速度图象只能如蓝线所示。因此有t₁< t₂，即a球先到。

8、匀变速直线运动的速度及速度时间图象

　　　 可由，即匀变速直线运动的速度公式，如知道t = 0时初速度v₀和加速度大小和方向就可知道任意时刻的速度。应指示，v₀ = 0时，v_t = at(匀加)，若，匀加速直线运动，匀减速直线运动v_t = v₀－at，这里a是取绝对值代入公式即可求出匀变速直线运动的速度。

　　　 匀变速直线运动速度--时间图象，是用图象来描述物体的运动规律，由匀变速直线运动速度公式：v_t = v₀ + at，从数学角度可知v_t是时间t的一次函数，所以匀变速直线运动的速度--时间图象是一条直线[即当已知：v₀ = 0(或)a的大小给出不同时间求出对应的v_t就可画出。]从如右图图象可知：各图线的物理意义。图象中直线①过原点直线是v₀ = 0，匀加速直线运动，图象中直线②是，匀加速直线运动。图象③是匀减速直线运动。速度图象中图线的斜率等于物体的加速度，以直线②分析，tga，斜率为正值，表示加速度为正，由直线③可知△v = v₂－v₁ < 0，斜率为负值，表示a为负，由此可知在同一坐标平面上，斜率的绝对值越大。回忆在匀速直线运动的位移图象中其直线的斜率是速度绝对值，通过对比，加深对不同性质运动的理解做到温故知新。

　　　 当然还可以从图象中确定任意时刻的即时速度，也可以求出达到某速度所需的时间。