波长.波速.频率 (1)波长:在波动中.对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离.叫做波长. 波长的物理实质是相距一个波长的两个质点的振动位移在任何时刻都相等.而且振动速度的大小和方向也相同——青夏教育精英家教网—

0 403358 403366 403372 403376 403382 403384 403388 403394 403396 403402 403408 403412 403414 403418 403424 403426 403432 403436 403438 403442 403444 403448 403450 403452 403453 403454 403456 403457 403458 403460 403462 403466 403468 403472 403474 403478 403484 403486 403492 403496 403498 403502 403508 403514 403516 403522 403526 403528 403534 403538 403544 403552 447090

5、波长、波速、频率

(1)波长：在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离，叫做波长。

波长的物理实质是相距一个(或整数个)波长的两个质点的振动位移在任何时刻都相等，而且振动速度的大小和方向也相同，它们的振动步调一致。波长反映了波的空间周期性。

⑵频率：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)是相同的，它们都等于波源的振动周期(或频率)，这个周期(或频率)也叫做波的周期(或频率)。

波的频率仅由波源决定，与介质无关。波的周期和频率反映了波的时间周期性。

⑷波速

①波速：振动在介质中传播的速度，叫做波速。

②公式　 v＝＝　　　　　 v＝λf

③决定波速的因素

①波速由介质本身的性质决定，同一列波在不同的介质中传播时波速可以不同，波长可以不同，但波从一种介质进入另种介质时频率不变。

②波速还与波的类型有关

⑷关于波长、频率和波速之间关系的应用

总结：在解决波的图象问题时，一定要抓住“双向性”和“周期性”。

例题：一列波由一种介质进入另一种介质中继续传播，则(　　　 )

A．传播方向一定改变　　　　　　　　　　　　　　 B．其频率不变

C．如波速增大，频率也会增大　　　　　　　 D．如波长变小，频率也会变小

解析：正确答案是B。

因为频率是由波源决定的，与介质及波速无关，因v＝λf，f不变，λ会随v成正比例变化，波由一种介质垂直于界面进入另一种介质，波速的大小会变，但方向却不变。

例题：如图所示，实线是一列简谐波在某一时刻的波形曲线，经0.5 s后，其波形如图中虚线所示，设该波的周期T大于0.5 s。

a．如果波是向左传播的，波速是多大？波的周期是多大？

b．如果波是向右传播的，波速是多大？波的周期又是多大？

解析：a．如果波是向左传播的，从图可以看出，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动了个波长，又因为λ＝24 cm，所以Δx＝λ＝6 cm＝0.06 m。由此可求出波速为：v＝＝0.12m/s

波的周期为：T＝＝2.00s

b．如果波是向右传播的，从图可以看出：虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动了个波长，所以Δx＝λ＝0.18 m。由此可求出波速为：v＝＝0.36m/s

波的周期为：T＝＝0.67s

例题：如图所示，一列机械波沿直线ab向右传播ab＝2 m，a、b两点的振动情况如图，下列说法正确的是(　　　 )

A．波速可能是m/s　　　　　　　　　　　　　　　 B．波长可能是m

C．波速可能大于m/s　　　　　　　　　　　　　　　 D．波长可能大于m

解析：考虑t＝0时刻、质点a在波谷，质点b在平衡位置且向y轴正方向运动，又波由a传向b，则可描绘出a、b之间最简的波形图为：

又由图可知

λ满足：λ+nλ＝2 (n＝0,1,2……)

由此可得

λ＝m

由此可知波长不可能大于m，(由振动图象知T＝4s，对应的波速也不可能大于m/s)，当n＝0时，λ＝m；当n＝10时，λ＝m。

由v＝得，对应的波速v＝m/s。

答案：A、B

总结：在解决波的图象问题时，一定要抓住“双向性”和“周期性”。本题若未明确波沿直线ab向右传播，也需讨论波向左传播的情况，在考虑两点之间波的形状时，一定要注意传播方向与质点振动方向之间的关系。

6波的衍射

⑴波的衍射波可以绕过障碍物继续传播，这种现象叫做波的衍射。

⑵发生明显衍射的条件

①产生明显衍射的条件：只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小时，才能观察到明显的衍射现象。

②说明

a、衍射现象总是存在的，只有明显与不明显的差异。障碍物或孔的尺寸大小，并不是决定衍射能否发生的条件，仅是使衍射现象明显表现的条件。波长较大的波容易产生显著的衍射现象；

b、波传到小孔(或障碍物时)，小孔或障碍物仿佛是一个新的波源，由它发出与原来同频率的波(称为子波)在孔或障碍物后传播，于是就出现了偏离直线传播方向的衍射现象；

c、当孔的尺寸远小于波长时尽管衍射十分突出，但由于能量的减弱，衍射现象不容易观察到。

⑶衍射是波特有的现象

一切波都能发生衍射，衍射是波特有的现象。

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4、波的图象的变化情况

(1)振动描点作图法

依据在波的传播过程中质点上下振动而不随波迁移的特点，在正弦(或余弦)波中找出波峰(或波谷)及邻近的平衡位置，根据质点的振动方向，让它们同时振动到所求时刻，然后根据波的连续性和周期性，即可画出所求的波形图线。

(2)波形平移法

将某一时刻的波的图象沿波的传播方向移动一段距离Δx＝v·Δt，就得到t+Δt时刻的波形图象。

将波形沿着波的传播方向的反方向移动一段距离Δx＝v·Δt，就可以得到t－Δt时刻的波形图。

若Δt＞T，根据波的周期性，只需平移Δx＝v(Δt－nT)即可。波形平移后，根据波的连续性和周期性，将缺少的部分补上或将多余的部分去掉。

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3、质点的振动方向、波的传播方向与波形之间的关系

根据“前面的质点领先，后面的质点紧跟”这一原则，结合波的传播方向与波形，可判断各质点在某时刻的振动方向。

如右图所示，a、b两点相比较，a点是前面的质点，b点是后面的质点。图示时刻a点的正向位移比b点的正向位移大，可知b点向上振动。找出a点前面的质点，同理可知a点也向上振动。

总结：

①波峰、波谷点瞬时静止，波峰点下一时刻向下振动，波谷点下一时刻向上振动；

②在波峰与波谷间质点的振动方向一致，在波峰(或波谷)的两侧质点的振动方向相反。

③某一时刻的波形、波的传播方向与质点的振动方向称之为波的三要素，三者之间相互制约。

④简捷判断法则：“逆向上下坡”、“同侧法则”、“班主任来了”、“三角形法则”等。

三角形法则简介：

如图所示，假设波沿x轴正方向传播，根据波的特点可知：MN曲线上各质点振动方向向上(M、N除外)，用带箭头的CA表示，NQ曲线上各质点振动方向向下，用带箭头的BC表示，A→B表示波的传播方向。易见，有向线段AB、BC、CA刚好构成一个带箭头，且首尾相连的封闭三角形。

例题：一列波沿水平方向传播，某时刻的波形如图所示，则图中a、b、c、d四点在此时刻具有相同运动方向的是(　　 )

A．a和c　　　　　

B．b和c　　　

C．a和d　　　　　

D．b和d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (答案：B、C)

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2、波的图象

(1)波的图象的建立

①横坐标轴和纵坐标轴的含意义

横坐标x表示在波的传播方向上各个质点的平衡位置；纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移。

从形式上区分振动图象和波动图象，就看横坐标。

②图象的建立：在xOy坐标平面上，画出各个质点的平衡位置x与各个质点偏离平衡位置的位移y的各个点(x，y)，并把这些点连成曲线，就得到某一时刻的波的图象。

　(2)波的图象的特点

①横波的图象特点

横波的图象的形状和波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布形状相似。波形中的波峰也就是图象中的位移正向最大值，波谷即为图象中位移负向最大值。波形中通过平衡位置的质点在图象中也恰处于平衡位置。

在横波的情况下，振动质点在某一时刻所在的位置连成的一条曲线，就是波的图象，能直观地表示出波形。波的图象有时也称波形图或波形曲线。

②纵波的图象特点

在纵波中，如果规定位移的方向与波的传播方向一致时取正值，位移的方向与波的传播方向相反时取负值，同样可以作出纵波的图象。

纵波的图象与纵波的“形状”并无相同之处。

(3)波的图象的物理意义

波的图象表示在波的传播过程中各个质点在同一时刻偏离各自平衡位置的位移，或表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的情况。

(4)振动图象与波动图象的比较

	振动图象	波的图象
研究对象	单个振动质点	连续介质
坐标含义	用横坐标表示时间t，纵坐标表示振动物体相对平衡位置的位移。	用横坐标表示各质点的平衡位置，纵坐标表示某一时刻各质点偏离各自平衡位置的位移。
研究内容	质点在振动过程中，位移随时间的变化	某一时刻介质中各质点的空间分布
物理意义	表示单个质点振动位移随时间的变化规律，能表示振动质点在一段时间内运动情况。	表示大量质点在同一时刻偏离平衡位置的位移，能直观地表示一列波在时刻t的波形。
图　　线
运动特点	质点做简谐运动	波形匀速传播，各质点做简谐运动
反映信息	直接得出质点在任意时刻的位移能得到振动的振幅能得到振动的周期	能直接得出各质点在时刻t的位移能得到波的振幅能得到波的波长
图线变化	已画出的部分不随时间而变，随时间变化图线按原规律延伸。	所选时刻不同，图线不同

(5)简谐波

①简谐波

波源做简谐运动时，介质中的各个质点随着做简谐运动，所形成的波就是简谐波。

②简谐波的特点

简谐波的图象──波形曲线是正弦(或余弦曲线)。

简谐波是一种最简单、最基本的波。

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1、机械波

(1)机械波：机械振动在介质中的传播，形成机械波。

(2) 机械波的产生条件：

①波源：引起介质振动的质点或物体

②介质：传播机械振动的物质

(3)机械波形成的原因：是介质内部各质点间存在着相互作用的弹力，各质点依次被带动。

(4)机械波的特点和实质

①机械波的传播特点

a．前面的质点领先，后面的质点紧跟；

b．介质中各质点只在各自平衡位置附近做机械振动，并不沿波的方向发生迁移；

c．波中各质点振动的频率都相同；

d．振动是波动的形成原因，波动是振动的传播；

e．在均匀介质中波是匀速传播的。

②机械波的实质

a．传播振动的一种形式；

b．传递能量的一种方式。

(5)机械波的基本类型：横波和纵波

①横波：质点的振动方向跟波的传播方向垂直的波，叫做横波。

表现形式：其中凸起部分的最高点叫波峰，凹下部分的最低点叫波谷。横波表现为凹凸相间的波形。

实例：沿绳传播的波、迎风飘扬的红旗等为横波。

②纵波：质点的振动方向跟波的传播方向在同一直线上的波，叫做纵波。

表现形式其中质点分布较稀的部分叫疏部，质点分布较密的部分叫密部。纵波表现为疏密相间的波形。

实例：沿弹簧传播的波、声波等为纵波。

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3、功能关系

做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。

　　能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。

需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移(一段时间)相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的(都是J)，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

　　 “功是能量转化的量度”这一基本概念。

⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W_外=ΔE_k，这就是动能定理。

⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W_G= -ΔE_P，这就是势能定理。

⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W_其=ΔE_机，(W_其表示除重力以外的其它力做的功)，这就是机械能定理。

⑷当W_其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f žd=Q(d为这两个物体间相对移动的路程)。

例题：质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有

A.物体的重力势能增加了mgH 　　B.物体的动能减少了FH

C.物体的机械能增加了FH　　　 D.物体重力势能的增加小于动能的减少

解析：由以上三个定理不难得出正确答案是A、C

例题：如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是

　　 A.在B位置小球动能最大

　　 B.在C位置小球动能最大

　　 C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

　　 D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。选B、C、D。

　例题：如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有

A.它们同时到达同一水平面　

B.重力对它们的冲量相同

C.它们的末动能相同　　　　

D.它们动量变化的大小相同

解析：b、c飞行时间相同(都是)；a与b比较，两者平均速度大小相同(末动能相同)；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大(有初动能)，到地面时末动能也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。

　　这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。另外，在比较中以b为中介：a、b的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b、c飞行时间相同(都等于自由落体时间)，但初动能不同。本题如果去掉b球可能更难做一些。

例题：质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为P。若司机突然减小油门使实际功率减为并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运动？

解析：由公式F- f=ma和P=Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P=Fv，F将减半，合力变为，方向和速度方向相反，加速度大小为；以后汽车做恒定功率的减速运动，F又逐渐增大，当增大到F=f时，a=0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。

　　这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。

例题：质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v₀冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。求这过程弹簧的最大弹性势能E_P和全过程系统摩擦生热Q各多少？简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。

解析：全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：mv₀=(m+M)v；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能E_P恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以E_P是全过程摩擦生热Q的一半。又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔE_K=Q=2E_P

而，　 ∴

至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。

例题：海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量(不含炮弹)为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？

解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，

　　这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关系；要善于从能量守恒的观点(本题是系统机械能增量相同)来分析问题。

例题：质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ。⑴试分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？⑵为使B、C不相撞，A木板至少多长？

解析：B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止。这段时间为。B刚好相对于A 静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度，这段加速经历的时间为，最终A将以做匀速运动。

　　全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热，由能量守恒定律列式：。这就是A木板应该具有的最小长度。

　　本题还可以求系统机械能损失(摩擦生热)和B、C与A摩擦生热之比：第一阶段B对A的位移就是对地的位移：s_B=v²/2μg，C的平均速度是其3倍因此C对A的位移是其3倍：s_C=3v²/2μg；第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v²/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/= 4v²/9μg，相对于A位移是v²/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是d_B= v²/2μg和d_C=11v²/6μg，于是系统摩擦生热为μmg(d_B+ d_C)=7mv²/3，d_B∶d_C=3∶11

例题：质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？

解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M<m时，相对静止时的共同速度必向右，再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能

例题：一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，为画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。

解析：电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以由Q=f　d求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程。本题中设传送带速度一直是v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv²/2。因此有W=mv²+mgh。又由已知，在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，所以有，vT=NL，带入后得到。

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2、机械能守恒定律

⑴机械能守恒定律的两种表述

①在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

②如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

　 ⑵对机械能守恒定律的理解：

　　 ①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

　　 ②当研究对象(除地球以外)只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象(除地球以外)由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

　　 ③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

⑶机械能守恒定律的各种表达形式

①，即；

②；；

　　用①时，需要规定重力势能的参考平面。用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE_增=ΔE_减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

⑷解题步骤

①确定研究对象和研究过程。

②判断机械能是否守恒。

③选定一种表达式，列式求解。

例题：如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？

解析：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒。这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。

例题：如图所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度v_m。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A的重力势能减少， A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得

⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°

⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W_G。设OA从开始转过θ角时B球速度最大，=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)

=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得

⑴　　　　　　　　　　　　　　 ⑵　　　　　　　　　　　 ⑶

本题如果用E_P+E_K= E_P^/+E_K^/这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。用ΔE_增=ΔE_减就要简洁得多。

例题：如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？(管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计)

解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。

　　本题在应用机械能守恒定律时仍然是用ΔE_增　=ΔE_减建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

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1、动能定理

⑴动能定理的表述

合外力做的功等于物体动能的变化。(这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力)。表达式为W=ΔE_K

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

和动量定理一样，动能定理也建立起过程量(功)和状态量(动能)间的联系。这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。

⑵注意：①不管是否恒力做功，也不管是否做直线运动，该定理都成立；

②对变力做功，应用动能定理要更方便、更迅捷。

③动能为标量，但ΔE_k=E_k2-E_k1仍有正负，分别表动能的增减。

⑶应用动能定理解题的步骤

①确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。(原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零)。

②对研究对象进行受力分析。(研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力)。

③写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。

④写出物体的初、末动能。

⑤按照动能定理列式求解。

例题：如图所示，斜面倾角为α，长为L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。质量为m的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数μ。

解析：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgLsinα，摩擦力做的功为，支持力不做功。初、末动能均为零。

mgLsinα=0，

　　从本例题可以看出，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。

例题：将小球以初速度v₀竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。

解析：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：

　　和，可得H=v₀²/2g，

再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：，解得

　　从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。

例题：质量为M的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M的子弹以v₀=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。

解析：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：

子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v₁，mv₀= mv+Mv₁……①

木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v₂，

有：……②

木块离开台面后的平抛阶段，……③

由①、②、③可得μ=0.50

　　从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。

从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。

例题：如图所示，小球以大小为v₀的初速度由A端向右运动，到B端时的速度减小为v_B；若以同样大小的初速度由B端向左运动，到A端时的速度减小为v_A。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道。比较v_A 、v_B的大小，结论是

　　 A.v_A>v_B　　　　 B.v_A=v_B

　　 C.v_A<v_B　　　　 D.无法确定

解析：小球向右通过凹槽C时的速率比向左通过凹槽C时的速率大，由向心力方程可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小球向右通过凸起D时的速率比向左通过凸起D时的速率小，由向心力方程可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多。所以小球向右运动全过程克服阻力做功多，动能损失多，末动能小，选A。

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5、势能：

⑴势能的概念：相互作用的物体间，由其相对位置所决定的能量。

⑵势能和种类：有重力势能和弹性势能等。

重力势能：地球与地球附近的物体之间由于重力的作用而是有的势能。

弹性势能：物体发生弹性形变时，由于其各部分间存在弹力的相互作用的是有的势能。

⑶重力势能：公式E_p=mgh

①表示物体的重力势能等于物体的质量、重力加速度和它所处的高度三者的乘积。

②根据功是能量转化的量度，也可以看做是外力把物体举高了h，外力做功W=mgh全转化成物体的重力势能，即E_p=mgh。

③重力势能是标量。在国际单位制中，它的单位跟功的单位相同：焦耳(J)。

④公式中h的含义要特别注意：

重力势能公式E_p=mgh中的h表示高度，用来表示物体所在的位置，是个状态量，是由规定的高度零点(如地面)开始量度的，向上为正；而自由落体公式中的h表示自由下落物体的位移，是个过程量，是由起始位置开始量度的，向下为正，二者不能混为一谈。

⑤重力做功的特点：

重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动路径无关。

⑥重力做功和重力势能的变化：重力做正功,势能减少；重力做负功，势能增加。重力做多少功，就改变多少重力势能。其数学表示式为W=－△＝－，式中、分别表示初态和终态的重力势能。

a重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；重力做负功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功．即重力做多少功，重力势能就改变多少．

　　 b重力做功只跟初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关，即W=mg△h。

　　⑷弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能叫弹性势能。弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。

⑸势能是相互作用的物体由相对位置而决定的一种能量。离开物体间的相互作用也就无所谓势能。因此势能只能属于系统，说某个物体具有多少势能，显然是一种简略的说法。

例题：如图所示，劲度系数为K₁的轻质弹簧两端分别与质量为m₁、m₂的物体1、 2拴接，劲度系数为K₂ 的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了　　　　　，物块1的重力势能增加了　　　　。

解析：该题难度较大，在方法的选用上应注意借助整体法和隔离法辅助求解．在求解m₁上升高度时，要找准m₁相对水平面的高度变化，不要漏加m₂上升高度；考虑k₁的变化时不要忽略弹簧k₂的变化．很容易考虑不全面，顾此失彼．可做如下分析：下面弹簧受到压力大小为(m+m)g，压缩量x=, 要使其离开桌面，m应上升高度x,则增加的重力势能为E＝mgx= ,　对弹簧k₁拉起的过程中，k₁是由压缩状态转为拉伸状态，压缩的长度x=,当k离开桌面时，k伸长了x= ，　则上面物体能上升的高度为x+x+x＝(m+m)g(+),所以m增加的重力势能为E= m(m+m)(+)g.