4．用能量观点处理带电粒子在电场中的运动

(1)从功能观点出发分析带电粒子的运动问题时：在对带电粒子受力情况和运动情况进行分析的基础上，再考虑应用恰当的规律解题．如果选用动能定理，要分清有几个力做功，做正功还是做负功，是恒力做功还是变力做功，以及初、末状态的动能．

(2)如果选用能量守恒定律解题时：要分清有多少种形式的能参与转化，哪种形式的能

增加，哪种形式的能减少．并注意电场力做功与路径无关．

3．宏观带电微粒在匀强电场与重力场的复合场中的运动

由于带电微粒在匀强电场中所受电场力与重力都是恒力，因此其处理方法有下列两种：

(1)正交分解法：先将复杂的运动分解为两个互相正交的简单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们可以掌握，然后再按运动合成的观点，去求出复杂运动的相关物理量．

(2)等效“重力”法：将重力与电场力进行合成，如图所示，则F等效于“重力”，等效于“重力加速度”，F的方向等效于“重力”的方向．

2．微观带电粒子，在电场中或在磁场中时，其重力一律忽略不计，宏观带电微粒，在电场中或在磁场中时，其重力不能忽略．

1、让一价氢离子、一价氦离子和二价氦离子的混合物经过同一加速电场由静止开始加速，然后在同一偏转电场里偏转，不会分成三股。在荧光屏上只出现一个亮点。

7、带电粒子的偏转

如图所示，在真空中水平放置一对金属板Y和Y′，板间距离为d，在两板间加以电压U。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子以水平速度v₀射入电场中，求：

(1)带电粒子在电场中的运动及运动方程

带电粒子沿极板方向作速度为v₀的匀速运动；

垂直于极板方向作初速度为零的匀加速运动。

粒子的运动类似平抛运动。

以进入点为坐标原点，沿极板方向取x轴，垂直于极板方向取y轴，则粒子在电场中的运动方程为

x＝v₀t

y＝at²＝t²

解得：

y＝x²　 (抛物线轨迹方程)

(2)带电粒子飞过电场的时间

T＝

(3)带电粒子离开电场时偏转的侧位移

y＝at²＝＝tanφ＝　　　　　　 (U＇为进入偏转电场前的加速电压)

(4)带电粒子离开电场时的速度大小

v_x＝v₀

v_y＝v_⊥＝aT＝

v＝＝

(5)带电粒子离开电场时的偏角

tanφ＝＝＝U＝

φ＝arctan(U)

可以证明，将带电粒子的速度方向反向延长后交于极板中线上的中点。

(6)带电粒子射出偏转电场后打到荧光屏上

在距偏转电场粒子射出端为x的地方，有一与极板垂直的荧光屏。带电粒子射出偏转电场后作匀速直线运动，打到荧光屏上。如果在偏转电场中没有加偏转电压，这时带电粒子打在荧光屏的中心点O。设加偏转电压后，粒子打在荧光屏上的点距O点的距离为y＇，如图所示。

根据相似三角形知识有：

＝

y＇＝(x+)U＝tanφ(x+)

例题：一电子在水平偏转电场中，射入时的速度v₀＝3.0×10⁷m/s。两极板的长度L＝6.0cm，相距d＝2cm，极板间的电压U＝200V。求电子射出电场时竖直偏移的距离y和偏转的角度φ。

解析：电子在竖直方向做匀加速运动，射出电场时竖直偏移的距离为

y＝at²＝＝0.36cm

离开电场时的偏转角φ为

tanφ＝＝U

代入数值后得

φ＝6.8º

注意：

6、带电粒子的加速

方法一：根据动力学和运动学方法求解

平行金属板间的场强：E＝

带电粒子受到的电场力：F＝qE＝

带电粒子的加速度：a＝＝

带电粒子从正极板运动到负极板做初速度为零的匀加速直线运动，设到达负极板的速度为v，根据运动学公式有：

v²＝2ad

解得：v＝

方法二：根据动能定理求解

带电粒子在运动过程中，电场力所做的功W＝qU。设带电粒子到达负极板时的动能E_k＝mv²，由动能定理可知

qU＝mv²－mv₀²

由此可求出

v＝

例题：实验表明，炽热的金属丝可以发射电子。在炽热金属丝和金属板间加以电压U＝2500V(如图)，从炽热金属丝发射出的电子在真空中被加速后，从金属板的小孔穿出。电子穿出后的速度有多大？

设电子刚从金属丝射出时的速度为零。电子质量m＝0.91×10^－30kg，电子的电荷量e＝1.6×10^－19C。

解析：金属丝和金属板间的电场虽然不是匀强电场，但仍可用v＝求出v：

v＝＝3.0×10⁷m/s

5、电势差与电场强度的关系

(1)电势差与电场强度的方向关系

在电场中场强方向是电势降低最快的方向。

(2)电势差与电场强度的数值关系

设A、B两点间的距离为d，电势差为U，场强为E。把正电荷q由A点移动到B点，电场力所做的功为：W＝Fd＝qEd，而W＝qU，可见，

U＝Ed

在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积。

注意：场强与电势差的关系：U＝Ed ①只适用于匀强电场；②d是沿场强方向的距离。

(3)匀强电场的场强计算公式

①匀强电场的场强计算公式

E＝

这个等式表明，在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差。

②场强的另一单位

由由E＝，可得E的单位为V/m，

推导：1＝1＝1

即1 V/m＝1 N/C。

[例题]如图，在匀强电场中的M、N两点距离为2 cm，两点间的电势差为5 V，M、N连线与场强方向成60º角，则此电场的电场强度多大？

解析：根据E＝，得

E＝＝500 V/m。

4、电势与电场强度的关系

(1)电场强度E大的地方电势不一定高。电势高的地方电场强度E不一定大。

在正的点电荷形成的电场中，A比B所在处的电场线密，所以E_A＞E_B；而沿电场线的方向，电势是逐渐降低的，所以_A＞_B。

故在正的点电荷形成的电场中，电场强度E大的地方电势一定高。

在负的点电荷形成的电场中，C比D所在处的电场线密，所以E_C＞E_D；而沿电场线的方向，电势是逐渐降低的，所以_C＜_D。

故在负的点电荷形成的电场中，电场强度E大的地方电势一定低。

(2)电场强度E为零的点电势不一定等于零，电势为零的地方电场强度E也不一定等于零。

在等量同种点电荷的电场中，两点电荷连线的中点，根据场强矢量的叠加，此点E＝0。而选取一条无限接近该点的电场线可知：沿电场线方向电势降低，至无穷远处为0，则该点＞0。

在等量异种点电荷的电场中，由图知，两点电荷连线的中垂线为一等势面并伸向无穷远，所以此点＝0。根据场强矢量的叠加，此点E≠0。

结论：电场强度E与电势无直接关系。

3、点电荷电场的强度　 电场的叠加

(1)真空中点电荷的场强

①真空中点电荷场强公式

E＝k (决定式)

②适用条件

真空(干燥空气)、点电荷

③点电荷场强方向

如果场电荷Q是正电荷，E的方向就是沿着PQ连线并背离Q；如果场电荷Q是负电荷，E的方向就是沿着PQ连线并指向Q。

(2)E＝与E＝k的比较　　　

①适用条件不同

E＝适用于任何静电场，E＝k只适用于真空中点电荷的电场。

②电荷量的含义不同

E＝中的q为试探电荷的电荷量，E＝k中的Q为场电荷的电荷量。

③公式的含义不同

E＝为量度式，不能得出E与F成正比，E与q成反比；E＝k为真空中点电荷场强的决定式，E与Q成正比，E与r²成反比。

　(3)电场的叠加

如果有几个点电荷同时存在，它们的电场就互相叠加，形成合电场。这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。

例题：如图所示，在真空中有两个点电荷Q₁＝+3.0×10^－8C和Q₂＝－3.0×10^－8C，它们相距0.1 m。求电场中A点的场强，A点与两个点电荷的距离r相等，r=0.1 m.

解析：真空中点电荷Q₁和Q₂的电场在A点的场强分别为E₁和E₂，它们大小相等，方向如图。

合场强E、场强E₁、场强E₂矢量三者构成一正三角形，故合场强E的方向与Q₁和Q₂的连线平行。合场强的大小为

E＝E₁cos60º+E₂ cos60º＝2E₁cos60º

即E＝E₁＝E₂＝k＝2.7×10⁴V/m

场强的方向与两点电荷的连线平行，并指向负电荷一侧。

注意：用E＝k求解E时，同样应注意Q代电荷量的绝对值，方向根据场电荷Q的电性确定。

例题：如图，点电荷q与4q静止于空气中，相距r，它们都是正电荷，求：

①它们连线中点A的场强；

②求场强为零的点的位置。

解析：①设q、4q在A点产生的场强分别为E₁、E₂，则

E＝E₂－E₁＝k－k＝，方向从A→q。

②先分析E＝0的点的可能位置范围。因E＝0为q、4q两点电荷产生场强叠加的结果，故两场强必等大反向，则可断定E＝0的点在q与4q的中间连线上。

令E＝0的点距q为x，则有

k＝k

得：x₁＝，x₂＝－r(无意义，舍去)

2、库仑定律

(1)与电荷间相互作用力有关的因素

①两电荷间距离：距离越近，电荷间相互作用力越大；

②两电荷电荷量：电荷量越大，电荷间相互作用力越大。

(2)点电荷

把带电体处理为点电荷的条件：当带电体的大小、形状及电荷的分布对相互作用力没有影响或影响可忽略不计时，可将带电体看作点电荷。

当带电体的线度比起相互作用的距离小很多，不考虑大小和电荷的具体分布时，带电体可视为点电荷。

(3)库仑定律

①内容

真空中两个点电荷之间相互作用的电力 ，跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

②公式

如果用Q1和Q2表示两个点电荷的电荷量，用r表示它们之间的距离，用F表示它们之间的相互作用力，则库仑定律的公式如下：

F＝k

式中的k是个常量，叫做静电力常量。k＝9.0×109N·m2/C2。

③方向

作用力的方向在它们的连线上，再根据同性相斥，异性相吸进一步确定。

④说明

a．适用条件：真空(干燥的空气)、点电荷；

b．计算时Q1、Q2仅取电荷量的绝对值，方向再判断。

c．各物理量均取国际制单位。

d．如果点电荷不止两个，点电荷受到的电力等于各点电荷独立作用时所受各力的矢量和。

e．在库仑定律中，当r→0时，两个电荷间的作用力F→∞，这是没有物理意义的。

f．库仑定律和万有引力定律都遵从二次平方反比规律。